Dados os vetores u=(1,1,1) e v=(3,-1,4).
c) Exiba uma base para o R^3 contendo os vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o espaço tridimensional R^3 que inclua os vetores u = (1,1,1) e v = (3,-1,4). A matéria que vamos usar aqui envolve bases vetoriais e independência linear. Precisamos verificar se u e v são linearmente independentes e, se forem, encontrar mais um vetor que, junto com eles, forme uma base para R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base para R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores u e v são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Olhando para u = (1,1,1) e v = (3,-1,4), não tem um número que multiplique todas as coordenadas de u para chegar em v. Então, u e v são linearmente independentes.

Passo 4

Como u e v são linearmente independentes, precisamos de mais um vetor para completar a base. Vamos chamar esse vetor de w = (a, b, c). Precisamos que os três vetores u, v e w sejam linearmente independentes. Para isso, a combinação linear k1u + k2v + k3w = 0 deve ter somente a solução trivial k1 = k2 = k3 = 0.

Passo 5

Uma maneira simples de escolher w é garantir que ele não esteja no plano formado por u e v. Podemos escolher, por exemplo, um vetor que seja diferente e não seja combinação linear de u e v. Vamos escolher w = (0,1,0).

Passo 6

Vamos verificar se w = (0,1,0) é linearmente independente de u e v. Montamos a seguinte matriz com u, v e w como colunas:
1 & 3 & 0 1 & -1 & 1 1 & 4 & 0
Calculamos o determinante dessa matriz. Se for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Calculando o determinante:
det = 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 4) - 3 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 4 - (-1) cdot 1) = 1 cdot (-4) - 3 cdot (-1) + 0 = -4 + 3 + 0 = -1
Como o determinante é diferente de zero ( det = -1 neq 0), os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Resposta

Assim, uma base para R^3 que contém os vetores u e v é:
, u = (1,1,1), v = (3,-1,4), w = (0,1,0) ,

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