Dados os vetores e .
c) Exiba uma base para o contendo os vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o espaço tridimensional que inclua os vetores e . A matéria que vamos usar aqui envolve bases vetoriais e independência linear. Precisamos verificar se e são linearmente independentes e, se forem, encontrar mais um vetor que, junto com eles, forme uma base para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base para é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Olhando para e , não tem um número que multiplique todas as coordenadas de para chegar em . Então, e são linearmente independentes.
Passo 4
Como e são linearmente independentes, precisamos de mais um vetor para completar a base. Vamos chamar esse vetor de . Precisamos que os três vetores , e sejam linearmente independentes. Para isso, a combinação linear deve ter somente a solução trivial .
Passo 5
Uma maneira simples de escolher é garantir que ele não esteja no plano formado por e . Podemos escolher, por exemplo, um vetor que seja diferente e não seja combinação linear de e . Vamos escolher .
Passo 6
Vamos verificar se é linearmente independente de e . Montamos a seguinte matriz com , e como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz. Se for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.