Sejam e .
Calcule a área do triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo no espaço utilizando vetores e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar a fórmula que envolve o produto vetorial de dois vetores que formam o triângulo. A área do triângulo formado pelos vetores e é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e indica o módulo do vetor resultante.

Passo 3

Vamos identificar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Vamos simplificar mais cada componente:
Para o primeiro componente:
Para o segundo componente:
Para o terceiro componente:
Então, o produto vetorial fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 7

Portanto, o módulo do produto vetorial é:

Passo 8

Agora, podemos substituir esse valor na fórmula da área:

Resposta

A área do triângulo de vértices , e é:

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