Sejam A=(x, 3, y), B=(0,-1,1) e C=(4,3,3).
Calcule a área do triângulo de vértices A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo no espaço utilizando vetores e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar a fórmula que envolve o produto vetorial de dois vetores que formam o triângulo. A área A = 12 | AB times AC | do triângulo formado pelos vetores e é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e indica o módulo do vetor resultante.

Passo 3

Vamos identificar os vetores AB = B - A = (0 - x, -1 - 3, 1 - y) = (-x, -4, 1 - y) e AC = C - A = (4 - x, 3 - 3, 3 - y) = (4 - x, 0, 3 - y) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2, ; u3 v1 - u1 v3, ; u1 v2 - u2 v1 ) . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores AB times AC = ( (-4)(3 - y) - (1 - y)(0), ; (1 - y)(4 - x) - (-x)(3 - y), ; (-x)(0) - (-4)(4 - x) ) e = ( -12 + 4y - 0, ; (1 - y)(4 - x) + x(3 - y), ; 0 + 16 - 4x ) é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Vamos simplificar mais cada componente:
Para o primeiro componente:
-12 + 4y
Para o segundo componente:
(1 - y)(4 - x) + x(3 - y) = 4(1 - y) - x(1 - y) + 3x - xy = 4 - 4y - x + xy + 3x - xy = 4 - 4y + 2x
Para o terceiro componente:
16 - 4x
Então, o produto vetorial fica:
AB times AC = (-12 + 4y, ; 4 - 4y + 2x, ; 16 - 4x)

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
| AB times AC | = raiz(-12 + 4y)^2 + (4 - 4y + 2x)^2 + (16 - 4x)^2
Vamos expandir cada termo:
(-12 + 4y)^2 = 144 - 96y + 16y^2
(4 - 4y + 2x)^2 = 16 - 32y + 16y^2 + 16x^2 - 16xy + 4x^2 = 16 - 32y + 16y^2 + 16x^2 - 16xy + 4x^2 = 16 - 32y + 16y^2 + 20x^2 - 16xy
(16 - 4x)^2 = 256 - 128x + 16x^2
Somando tudo:
144 - 96y + 16y^2 + 16 - 32y + 16y^2 + 20x^2 - 16xy + 256 - 128x + 16x^2
Simplificando:
(16y^2 + 16y^2) + (20x^2 + 16x^2) + (-96y - 32y) + (-128x) + (-16xy) + (144 + 16 + 256)
32y^2 + 36x^2 - 128y - 128x - 16xy + 416

Passo 7

Portanto, o módulo do produto vetorial é:
| AB times AC | = raiz32y^2 + 36x^2 - 128y - 128x - 16xy + 416

Passo 8

Agora, podemos substituir esse valor na fórmula da área:
A = 12 raiz32y^2 + 36x^2 - 128y - 128x - 16xy + 416

Resposta

A área do triângulo de vértices A = 12 raiz32y^2 + 36x^2 - 128y - 128x - 16xy + 416 , e é:

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