Sejam e .
Calcule a área do triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o cálculo da área de um triângulo no espaço utilizando vetores e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar a área de um triângulo no espaço, podemos usar a fórmula que envolve o produto vetorial de dois vetores que formam o triângulo. A área do triângulo formado pelos vetores e é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e indica o módulo do vetor resultante.
Passo 3
Vamos identificar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Vamos simplificar mais cada componente:
Para o primeiro componente:
Para o segundo componente:
Para o terceiro componente:
Então, o produto vetorial fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, o módulo do produto vetorial é:
Passo 8
Agora, podemos substituir esse valor na fórmula da área: