Dados os vetores
e
.
b) Eles geram o
? Justifique.
b) Eles geram o
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores:
e
. A pergunta é: esses vetores geram o
? Ou seja, será que com esses dois vetores conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço tridimensional? Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente de geração de espaços vetoriais e dimensão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa gerar o
. Em álgebra linear, dizer que um conjunto de vetores gera um espaço significa que qualquer vetor nesse espaço pode ser formado por combinações lineares desses vetores. No caso do
, que é um espaço tridimensional, normalmente precisamos de três vetores que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço.
Passo 3
Agora, temos apenas dois vetores:
e
. Vamos verificar se eles são suficientes para gerar o
. Como estamos trabalhando com
, precisaríamos de três vetores para cobrir todas as direções possíveis no espaço. Com apenas dois vetores, mesmo que sejam independentes, eles só conseguem gerar um plano dentro do
, não todo o espaço.
Passo 4
Além disso, para que dois vetores possam gerar
, eles precisariam, de alguma forma, conseguir abranger a terceira dimensão, o que não é possível apenas com dois vetores. Isso ocorre porque sempre faltaria uma direção que não está coberta pelos vetores fornecidos.
Resposta
Não, os vetores
e
não geram o
porque, sendo apenas dois vetores, eles não conseguem cobrir todas as direções necessárias em um espaço tridimensional.