Mostre que os vetores u=(1,4,4), v=(-1,3,6) e w=(-3,2,8) são linearmente dependentes expressando um dos vetores como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se os vetores u=(1,4,4), v=(-1,3,6) e w=(-3,2,8) são linearmente dependentes. Se eles forem, devemos mostrar como um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma mistura dos outros dois. Ou seja, existe uma relação do tipo:
au + bv + cw = 0
onde pelo menos um dos coeficientes a, b ou c é diferente de zero.

Passo 3

Para facilitar, vamos tentar expressar w como combinação de u e v. Isso significa que queremos encontrar números a e b tais que:
w = au + bv
Substituindo os valores dos vetores:
(-3,2,8) = a(1,4,4) + b(-1,3,6)

Passo 4

Vamos quebrar isso em componentes para facilitar a resolução. Assim, temos um sistema de três equações:
-3 = a(1) + b(-1) 2 = a(4) + b(3) 8 = a(4) + b(6)
Que simplifica para:
a - b = -3 4a + 3b = 2 4a + 6b = 8

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema. Começamos pela primeira equação:
a - b = -3 Rightarrow a = b - 3
Substituímos a na segunda equação:
4(b - 3) + 3b = 2 4b - 12 + 3b = 2 7b = 14 b = 2

Passo 6

Com b = 2, voltamos para a = b - 3:
a = 2 - 3 a = -1

Passo 7

Agora, vamos verificar com a terceira equação para garantir que está tudo certo:
4a + 6b = 4(-1) + 6(2) = -4 + 12 = 8
Que coincide com a terceira equação, então está tudo correto!

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes. O vetor w pode ser expresso como combinação linear dos vetores u e v da seguinte forma:
w = -1cdotu + 2cdotv

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