Seja o subespaço do gerado pelos vetores , e . ? Justifique.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para verificar se o vetor pertence ao subespaço de gerado pelos vetores , e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor pertencer a um subespaço gerado por outros vetores. Dizemos que pertence a se conseguimos escrever como uma combinação linear dos vetores geradores. Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações com base nas componentes dos vetores:
a + 2b + c = 2 (Equação 1) -3a - 4b - 5c = -5 (Equação 2) 2a - b + 7c = 3 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de .
Passo 4
Vamos resolver o sistema usando o método da matriz aumentada e a eliminação de Gauss. Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 5:
- b + c = -15 (Equação 6) çã
Passo 7
Vamos isolar c = b - 15 na Equação 6:
2b - 2(b - 15) = 1 2b - 2b + 25 = 1 25 = 1
Agora, substituímos na Equação 4:
Isso resulta em uma contradição, pois não é igual a 1.
Resposta
Como chegamos a uma contradição ao tentar resolver o sistema, concluímos que não existe uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor . Portanto, não pertence ao subespaço .