Seja W o subespaço do R^3 gerado pelos vetores u1=(1,-3,2), u2=(2,-4,-1) e u3=(1,-5,7).
v=(2,-5,3) in W ? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para verificar se o vetor pertence ao subespaço de gerado pelos vetores , e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor pertencer a um subespaço gerado por outros vetores. Dizemos que v = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 pertence a a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 = 2 a cdot (-3) + b cdot (-4) + c cdot (-5) = -5 a cdot 2 + b cdot (-1) + c cdot 7 = 3 se conseguimos escrever como uma combinação linear dos vetores geradores. Ou seja, precisamos encontrar escalares tais que:
Isso se traduz no sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações com base nas componentes dos vetores:
a + 2b + c = 2 (Equação 1) -3a - 4b - 5c = -5 (Equação 2) 2a - b + 7c = 3 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver o sistema usando o método da matriz aumentada e a eliminação de Gauss. Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
1 & 2 & 1 & | & 2 -3 & -4 & -5 & | & -5 2 & -1 & 7 & | & 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 5

Primeiro, vamos eliminar o 3 cdot (1) + (-3) = 0a, 3 cdot 2 + (-4) = 2b, 3 cdot 1 + (-5) = -2c, 3 cdot 2 + (-5) = 1 das Equações 2 e 3 usando a Equação 1.
Multiplicamos a Equação 1 por 3 e somamos à Equação 2:
0a + 2b - 2c = 1 (Equação 4)
Isso nos dá:
-2 cdot (1) + 2 = 0a, -2 cdot 2 + (-1) = -5b, -2 cdot 1 + 7 = 5c, -2 cdot 2 + 3 = -1 çã
Multiplicamos a Equação 1 por -2 e somamos à Equação 3:
0a -5b +5c = -1 (Equação 5)
Isso nos dá:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
2b - 2c = 1 (Equação 4) -5b + 5c = -1 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 5:
- b + c = -15 (Equação 6) çã

Passo 7

Vamos isolar c = b - 15 na Equação 6:
2b - 2(b - 15) = 1 2b - 2b + 25 = 1 25 = 1
Agora, substituímos na Equação 4:
Isso resulta em uma contradição, pois não é igual a 1.

Resposta

Como chegamos a uma contradição ao tentar resolver o sistema, concluímos que não existe uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor . Portanto, não pertence ao subespaço .

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