Considere o sistema linear abaixo:
r k x1+3 x2+x3=1 k x1+6 x2+x3=2 x1+x2+5 x3=3
Determine para que valores de k se tem garantia de que o método de Jacobi e Gauss-Seidel geram uma sequência convergente para qualquer aproximação inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com três variáveis:
r k x1+3 x2+x3=1 k x1+6 x2+x3=2 x1+x2+5 x3=3
A matéria envolvida aqui é a resolução de sistemas lineares usando métodos iterativos, especificamente o Método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel. Para resolver esse problema, vamos precisar entender quando esses métodos garantem a convergência, ou seja, quando eles chegam numa solução correta a partir de qualquer ponto de partida.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quando o Método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel garantem a convergência. Uma condição comum é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha da matriz, o valor absoluto do coeficiente diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = k & 3 & 1 k & 6 & 1 1 & 1 & 5

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição de diagonal dominante para cada linha.
Primeira linha:
O coeficiente diagonal é |k| > 4 .
A soma dos outros coeficientes é 6 > |k| + 1 Rightarrow |k| < 5 .
Então, para a primeira linha ser diagonalmente dominante:
5 > 2
Segunda linha:
O coeficiente diagonal é .
A soma dos outros coeficientes é .
Para a segunda linha:
Terceira linha:
O coeficiente diagonal é .
A soma dos outros coeficientes é .
Então, para a terceira linha:
Isso é sempre verdadeiro.

Passo 4

Para que todas as linhas sejam estritamente diagonalmente dominantes, precisamos que todas as condições sejam satisfeitas simultaneamente.
Das condições:
  1. 4 < |k| < 5
Isso significa que deve ser maior que 4 e menor que 5 ao mesmo tempo. Em outras palavras:

Passo 5

Resumindo, para garantir que tanto o Método de Jacobi quanto o Método de Gauss-Seidel converjam para qualquer aproximação inicial, o valor absoluto de deve estar entre 4 e 5.

Resposta

Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel garantem convergência para todo tal que .

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