Escolha o menor inteiro positivo de k e determine uma solução aproximada do sistema pelo Método de Jacobi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações e precisa usar o Método de Jacobi para encontrar uma solução aproximada. O objetivo é determinar o menor número inteiro positivo de iterações necessárias para chegar a essa solução. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Jacobi, preparar o sistema para aplicar o método e, passo a passo, chegar à resposta final.

Passo 2

Entendendo o Método de Jacobi:
O Método de Jacobi é uma técnica iterativa usada para resolver sistemas de equações lineares. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial para as variáveis e, em cada iteração, atualiza essas estimativas com base nas equações do sistema. O processo continua até que as mudanças entre iterações sejam menores que um valor de tolerância preestabelecido, indicando que estamos perto de uma solução precisa.

Passo 3

Organizando o Sistema:
Primeiro, precisamos reescrever o sistema de equações na forma adequada para o Método de Jacobi. Cada equação deve ser resolvida em relação a uma variável específica. Por exemplo, se tivermos um sistema como:
a11x + a12y + a13z = b1 a21x + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3
Vamos isolar cada variável:
x = b1 - a12y - a13za11 y = b2 - a21x - a23za22 z = b3 - a31x - a32ya33

Passo 4

Escolhendo a Estimativa Inicial:
Escolhemos valores iniciais para as variáveis. Geralmente, começamos com , , , mas você pode escolher outros valores se tiver uma estimativa melhor.

Passo 5

Realizando as Iterações:
Agora, usamos as equações reorganizadas para calcular novos valores para cada variável com base nos valores da iteração anterior.
Por exemplo, na primeira iteração ( x^(1) = b1 - a12y^(0) - a13z^(0)a11 y^(1) = b2 - a21x^(0) - a23z^(0)a22 z^(1) = b3 - a31x^(0) - a32y^(0)a33 ):
Repetimos esse processo, atualizando as variáveis em cada iteração, até que a diferença entre os valores em duas iterações consecutivas seja menor que a tolerância desejada.

Passo 6

Determinação do Menor :
Continuamos iterando até que a mudança entre as iterações seja suficientemente pequena. O menor valor de para o qual isso ocorre é o que você deve escolher. Isso significa que, após iterações, a solução está “boa o suficiente” de acordo com a precisão que você estabeleceu.

Resposta

Então, seguindo esses passos, o menor inteiro positivo representa o número de iterações necessárias para que o Método de Jacobi chegue a uma solução aproximada satisfatória para o sistema de equações dado. A solução final será os valores das variáveis após iterações.

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