Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
S: x-y+2 z-t & =0 3 x+y+3 z+t & =0 x-y-z-5 t & =0

Passo 1

Vamos resolver um sistema linear homogêneo. Um sistema é chamado de homogêneo quando todas as equações igualam-se a zero, como neste caso:
x - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares homogêneos.
O que vamos precisar: Utilizaremos métodos de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & -1 & 2 & -1 & | & 0 3 & 1 & 3 & 1 & | & 0 1 & -1 & -1 & -5 & | & 0
Teoria aplicada: A eliminação de Gauss ajuda a simplificar o sistema para facilitar a resolução, transformando a matriz em uma forma escalonada.

Passo 3

Vamos eliminar o Linha 2 - 3 times Linha 1 Rightarrow 3x + y + 3z + t - 3(x - y + 2z - t) = 0 das segundas e terceiras equações usando a primeira equação.
Operação na segunda linha:
Rightarrow 3x + y + 3z + t - 3x + 3y - 6z + 3t = 0
Rightarrow 4y - 3z + 4t = 0
Linha 3 - Linha 1 Rightarrow x - y - z - 5t - (x - y + 2z - t) = 0
Operação na terceira linha:
Rightarrow x - y - z - 5t - x + y - 2z + t = 0
Rightarrow -3z - 4t = 0 Rightarrow 3z + 4t = 0
x - y + 2z - t = 0 4y - 3z + 4t = 0 3z + 4t = 0
Agora, o sistema simplificado fica:

Passo 4

Vamos resolver a terceira equação para 3z + 4t = 0 Rightarrow z = -43t :
Teoria aplicada: Isolar uma variável permite expressar as demais em função de variáveis livres.

Passo 5

Substituindo 4y - 3(-43t) + 4t = 0 na segunda equação:
4y + 4t + 4t = 0 Rightarrow 4y + 8t = 0 Rightarrow y = -2t

Passo 6

Agora, substituímos x - (-2t) + 2(-43t) - t = 0 e x + 2t - 83t - t = 0 na primeira equação:
x + (2 - 83 - 1)t = 0 Rightarrow x - 53t = 0 Rightarrow x = 53t

Passo 7

Agora, expressamos todas as variáveis em função de x = 53t y = -2t z = -43t t = t :
Teoria aplicada: Em sistemas homogêneos com mais variáveis do que equações, algumas variáveis são livres e podem assumir qualquer valor real.

Passo 8

Portanto, a solução geral do sistema é:
(x, y, z, t) = t(53, -2, -43, 1), onde t in R

Resposta

A solução geral do sistema homogêneo é dada por:
(x, y, z, t) = t(53, -2, -43, 1), onde t in R

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Dados W1=[llx & y z & t] ; z=-t e W2=[lla & b c & d] ; a-b+c=0 subespaços de M2 times 2(R)
Detrmine:
(b) Uma base beta para W1+W2.