Relembrando, um sistema linear é chamado de homogêneo se a matriz é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema possui, pelo menos, a n-upla como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
Passo 1
Vamos resolver um sistema linear homogêneo. Um sistema é chamado de homogêneo quando todas as equações igualam-se a zero, como neste caso:
x - y + 2z - t = 0 3x + y + 3z + t = 0 x - y - z - 5t = 0
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares homogêneos.
O que vamos precisar: Utilizaremos métodos de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Teoria aplicada: A eliminação de Gauss ajuda a simplificar o sistema para facilitar a resolução, transformando a matriz em uma forma escalonada.
Passo 3
Vamos eliminar o Linha 2 - 3 times Linha 1 Rightarrow 3x + y + 3z + t - 3(x - y + 2z - t) = 0 das segundas e terceiras equações usando a primeira equação.
Operação na segunda linha:
Rightarrow 3x + y + 3z + t - 3x + 3y - 6z + 3t = 0
Rightarrow 4y - 3z + 4t = 0
Linha 3 - Linha 1 Rightarrow x - y - z - 5t - (x - y + 2z - t) = 0
Operação na terceira linha:
Rightarrow x - y - z - 5t - x + y - 2z + t = 0
Rightarrow -3z - 4t = 0 Rightarrow 3z + 4t = 0
x - y + 2z - t = 0 4y - 3z + 4t = 0 3z + 4t = 0
Agora, o sistema simplificado fica:
Passo 4
Vamos resolver a terceira equação para 3z + 4t = 0 Rightarrow z = -43t :
Teoria aplicada: Isolar uma variável permite expressar as demais em função de variáveis livres.
Passo 5
Substituindo 4y - 3(-43t) + 4t = 0 na segunda equação: