Qual a interseção entre os planos descritos pelas equações
e
?
Escolha uma opção:
a. O conjunto vazio
b. Apenas o ponto
c. Apenas os pontos
e
.
d. Qualquer ponto que satisfaça simultaneamente as equações
e
.
e. Qualquer ponto que satisfaça a equação
.
Escolha uma opção:
a. O conjunto vazio
b. Apenas o ponto
c. Apenas os pontos
d. Qualquer ponto que satisfaça simultaneamente as equações
e. Qualquer ponto que satisfaça a equação
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para encontrar a interseção entre três planos dados pelas equações:
Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com sistemas de equações lineares. Para encontrar a interseção desses planos, precisamos resolver o sistema formado pelas três equações simultaneamente, ou seja, encontrar os valores de
,
e
que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações
e
para facilitar a resolução. Observamos que
pode ser simplificada dividindo todos os termos por
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema formado por
e
. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar o método de eliminação aqui.
Multiplicando a equação
por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Passo 4
Subtraindo
de
para eliminar
e
:
Obtemos uma contradição:
o que significa que o sistema não tem solução única, e os planos
e
são paralelos ou coincidentes.
Passo 5
Vamos verificar a posição dos planos
e
. Se as equações forem múltiplos uma da outra, os planos são coincidentes; caso contrário, são paralelos.
Comparando
e
:
Podemos ver que os coeficientes de
e
de
são
vezes os de
(já que
e
), mas o termo constante não segue essa proporção (
). Portanto, os planos são paralelos e não coincidentes.
Passo 6
Como
e
são planos paralelos e distintos, eles nunca se intersectam. Isso significa que não há nenhum ponto que pertença a ambos os planos simultaneamente. Portanto, ao considerar o terceiro plano
, não haverá um ponto de interseção comum aos três planos.
Resposta
a. O conjunto vazio