Qual a interseção entre os planos descritos pelas equações pi1: 2 x-2 z+2=0, pi2:-4 x+4 z-7=0 e pi3: 5 x-2 y-1=0 ?
Escolha uma opção:
a. O conjunto vazio
b. Apenas o ponto (0,0,1)
c. Apenas os pontos (1,0,-1) e (0,1,-52).
d. Qualquer ponto que satisfaça simultaneamente as equações x=z e y=52 z.
e. Qualquer ponto que satisfaça a equação x=z.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para encontrar a interseção entre três planos dados pelas equações:
pi1: 2x - 2z + 2 = 0,
pi2: -4x + 4z - 7 = 0,
pi3: 5x - 2y - 1 = 0
Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com sistemas de equações lineares. Para encontrar a interseção desses planos, precisamos resolver o sistema formado pelas três equações simultaneamente, ou seja, encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações -4x + 4z - 7 = 0 implies x - z + 74 = 0 e pi1: 2x - 2z + 2 = 0, para facilitar a resolução. Observamos que pi2: x - z + 74 = 0 pode ser simplificada dividindo todos os termos por :
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema formado por 2(x - z) + 2(74) = 0 implies 2x - 2z + 72 = 0 e pi1: 2x - 2z + 2 = 0, . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar o método de eliminação aqui.
Multiplicando a equação pi2': 2x - 2z + 72 = 0 por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:

Passo 4

Subtraindo (2x - 2z + 72) - (2x - 2z + 2) = 0 implies 72 - 2 = 32 = 0 de 32 = 0, para eliminar e :
Obtemos uma contradição:
o que significa que o sistema não tem solução única, e os planos e são paralelos ou coincidentes.

Passo 5

Vamos verificar a posição dos planos pi1: 2x - 2z + 2 = 0, e pi2: -4x + 4z - 7 = 0 . Se as equações forem múltiplos uma da outra, os planos são coincidentes; caso contrário, são paralelos.
Comparando e :
Podemos ver que os coeficientes de e de são vezes os de (já que e ), mas o termo constante não segue essa proporção ( ). Portanto, os planos são paralelos e não coincidentes.

Passo 6

Como e são planos paralelos e distintos, eles nunca se intersectam. Isso significa que não há nenhum ponto que pertença a ambos os planos simultaneamente. Portanto, ao considerar o terceiro plano , não haverá um ponto de interseção comum aos três planos.

Resposta

a. O conjunto vazio

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