Para qual(is) valor(es) de a o sistema linear abaixo é incompativel?
r x-y+z=1 3 x-y-z=1 6 x-y+z=3 a a x+y+z=a^2
Escolha uma opção:
a. Apenas se a=2
b. Para nenhum valor de a.
c. Para qualquer valor a neq 2.
d. Apenas se a=-2
e. Para qualquer valor de a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando para quais valores de o sistema de equações lineares dado não tem solução, ou seja, é incompatível. A matéria que vamos usar aqui é sistemas lineares e matriz aumentada, e vamos precisar fazer operações com matrizes para descobrir os valores de que deixam o sistema sem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 1 & | & 1 3 & -1 & -1 & | & 1 6 & -1 & 1 & | & 3a a & 1 & 1 & | & a^2

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando eliminação de Gauss. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos ver claramente se há uma contradição (como 3 - 3(1) = 0, -1 - 3(-1) = 2, -1 - 3(1) = -4, 1 - 3(1) = -2 algo diferente de zero), o que indicaria que o sistema é incompatível.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os 6 - 6(1) = 0, -1 - 6(-1) = 5, 1 - 6(1) = -5, 3a - 6(1) = 3a - 6 das outras linhas. Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda.
  • Subtraímos 6 vezes a primeira linha da terceira.
  • Subtraímos a - a(1) = 0, 1 - a(-1) = 1 + a, 1 - a(1) = 1 - a, a^2 - a(1) = a^2 - a vezes a primeira linha da quarta.
Vamos fazer essas operações:
Linha 2: 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 2 & -4 & | & -2 0 & 5 & -5 & | & 3a - 6 0 & 1 + a & 1 - a & | & a^2 - a
Linha 3:
Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 4

Vamos continuar simplificando a matriz. Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o Linha 2 = 12 times Linha 2 Rightarrow 0 1 -2 | -1 das demais linhas abaixo dela.
Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 2:
0 - 5(0) = 0, 5 - 5(1) = 0, -5 - 5(-2) = -5 + 10 = 5, 3a - 6 - 5(-1) = 3a - 6 + 5 = 3a - 1
Agora, usamos a nova Linha 2 para eliminar o 0 - (1 + a)(0) = 0, (1 + a) - (1 + a)(1) = 0, (1 - a) - (1 + a)(-2) = 1 - a + 2 + 2a = 3 + a das Linhas 3 e 4.
Linha 3: a^2 - a - (1 + a)(-1) = a^2 - a + 1 + a = a^2 + 1
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -2 & | & -1 0 & 0 & 5 & | & 3a - 1 0 & 0 & 3 + a & | & a^2 + 1
Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos focar nas últimas duas linhas para ver se há alguma contradição. Temos:
Linha 3: z = 3a - 15
Linha 4: (3 + a)(3a - 15) = a^2 + 1
Podemos resolver a Linha 3 para (3 + a)(3a - 1) = 5(a^2 + 1) :
9a - 3 + 3a^2 - a = 5a^2 + 5
Agora, substituímos esse valor de 3a^2 + 8a - 3 = 5a^2 + 5 na Linha 4:
3a^2 + 8a - 3 - 5a^2 - 5 = 0 Rightarrow -2a^2 + 8a - 8 = 0
Vamos multiplicar ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
2a^2 - 8a + 8 = 0
Expandindo o lado esquerdo:
a^2 - 4a + 4 = 0
Simplificando:
Levando tudo para um lado da equação:
Multiplicando por -1:
Dividindo por 2:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática (a - 2)^2 = 0 :
Podemos fatorar:
Então, a única solução é .

Passo 7

Agora, precisamos verificar se para 2x + y + z = 4 o sistema realmente não tem solução.
Substituindo na Linha 4 original:
E nas linhas simplificadas:
Linha 3:
Linha 4:
Não há contradição aqui, então o sistema é compatível quando .
Entretanto, a equação quadrática nos mostrou que é o único valor que poderia causar problemas. Como nesse caso o sistema permanece compatível, concluímos que para qualquer o sistema é incompatível.

Resposta

c. Para qualquer valor .

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