Para qual(is) valor(es) de o sistema linear abaixo é incompativel?
Escolha uma opção:
a. Apenas se
b. Para nenhum valor de .
c. Para qualquer valor .
d. Apenas se
e. Para qualquer valor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando para quais valores de o sistema de equações lineares dado não tem solução, ou seja, é incompatível. A matéria que vamos usar aqui é sistemas lineares e matriz aumentada, e vamos precisar fazer operações com matrizes para descobrir os valores de que deixam o sistema sem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando eliminação de Gauss. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos ver claramente se há uma contradição (como algo diferente de zero), o que indicaria que o sistema é incompatível.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os das outras linhas. Para isso:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda.
Subtraímos 6 vezes a primeira linha da terceira.
Subtraímos vezes a primeira linha da quarta.
Vamos fazer essas operações:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz agora fica:
Passo 4
Vamos continuar simplificando a matriz. Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o das demais linhas abaixo dela.
Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 2:
Agora, usamos a nova Linha 2 para eliminar o das Linhas 3 e 4.
Linha 3:
Linha 4:
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, vamos focar nas últimas duas linhas para ver se há alguma contradição. Temos:
Linha 3:
Linha 4:
Podemos resolver a Linha 3 para :
Agora, substituímos esse valor de na Linha 4:
Vamos multiplicar ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Levando tudo para um lado da equação:
Multiplicando por -1:
Dividindo por 2:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática :
Podemos fatorar:
Então, a única solução é .
Passo 7
Agora, precisamos verificar se para o sistema realmente não tem solução.
Substituindo na Linha 4 original:
E nas linhas simplificadas:
Linha 3:
Linha 4:
Não há contradição aqui, então o sistema é compatível quando .
Entretanto, a equação quadrática nos mostrou que é o único valor que poderia causar problemas. Como nesse caso o sistema permanece compatível, concluímos que para qualquer o sistema é incompatível.