Para qual(is) valor(es) de o sistema linear abaixo é incompativel?
Escolha uma opção:
a. Apenas se
b. Para nenhum valor de .
c. Para qualquer valor .
d. Apenas se
e. Para qualquer valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando para quais valores de o sistema de equações lineares dado não tem solução, ou seja, é incompatível. A matéria que vamos usar aqui é sistemas lineares e matriz aumentada, e vamos precisar fazer operações com matrizes para descobrir os valores de que deixam o sistema sem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando eliminação de Gauss. O objetivo é chegar a uma forma onde possamos ver claramente se há uma contradição (como algo diferente de zero), o que indicaria que o sistema é incompatível.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os das outras linhas. Para isso:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda.
  • Subtraímos 6 vezes a primeira linha da terceira.
  • Subtraímos vezes a primeira linha da quarta.
Vamos fazer essas operações:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 4

Vamos continuar simplificando a matriz. Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o das demais linhas abaixo dela.
Primeiro, vamos normalizar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 2:
Agora, usamos a nova Linha 2 para eliminar o das Linhas 3 e 4.
Linha 3:
Linha 4:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos focar nas últimas duas linhas para ver se há alguma contradição. Temos:
Linha 3:
Linha 4:
Podemos resolver a Linha 3 para :
Agora, substituímos esse valor de na Linha 4:
Vamos multiplicar ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Levando tudo para um lado da equação:
Multiplicando por -1:
Dividindo por 2:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática :
Podemos fatorar:
Então, a única solução é .

Passo 7

Agora, precisamos verificar se para o sistema realmente não tem solução.
Substituindo na Linha 4 original:
E nas linhas simplificadas:
Linha 3:
Linha 4:
Não há contradição aqui, então o sistema é compatível quando .
Entretanto, a equação quadrática nos mostrou que é o único valor que poderia causar problemas. Como nesse caso o sistema permanece compatível, concluímos que para qualquer o sistema é incompatível.

Resposta

c. Para qualquer valor .

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Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(e)
Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(a)
Qual a interseção entre os planos descritos pelas equações e ?
Escolha uma opção:
a. O conjunto vazio
b. Apenas o ponto
c. Apenas os pontos e .
d. Qualquer ponto que satisfaça simultaneamente as equações e .
e. Qualquer ponto que satisfaça a equação .
Considere o Sistema Linear abaixo:
Indique TODAS as alternativas corretas. Atenção: cada resposta incorreta anula uma correta.
a. Se , então o sistema é impossivel
b. Se , então o sistema é possivel e determinado
c. Se , então o sistema é impossivel
d. Se , então o sistema é possivel e determinado
e. Se , então o sistema é possivel e indeterminado
f. Se , então o sistema é possivel e determinado
g. Se , então o sistema é possivel e indeterminado