Considere o sistema linear homogêneo
, em que
. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se
e
, então o conjunto das soluções reais de
é uma reta que passa pela origem de
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema linear homogêneo da forma
, onde a matriz
é
. A questão quer saber se, quando
não é a matriz nula (
) e o determinante
, o conjunto de soluções reais desse sistema forma uma reta que passa pela origem em
. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas homogêneos, determinantes e espaço das soluções.
Passo 2
Primeiro, lembro que um sistema homogêneo
sempre tem pelo menos a solução trivial
. Mas queremos saber sobre outras soluções além dessa.
Passo 3
O determinante da matriz
é dado por
. Quando
, isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Ou seja, uma linha é múltiplo da outra.
Passo 4
Quando as linhas são dependentes (
), o sistema tem infinitas soluções. Geometricamente, no plano
, isso representa que todas as soluções estão alinhadas em uma reta que passa pela origem.
Passo 5
Como o enunciado afirma que
(ou seja, pelo menos um elemento de
é diferente de zero) e que
, podemos concluir que o sistema não tem apenas a solução trivial, mas sim uma infinidade de soluções formando uma reta que passa pela origem.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto das soluções reais forma uma reta que passa pela origem de
.