Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se A neq 0 e a d-b c=0, então o conjunto das soluções reais de A X=0 é uma reta que passa pela origem de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema linear homogêneo da forma a & b c & d , onde a matriz é . A questão quer saber se, quando não é a matriz nula ( ) e o determinante , o conjunto de soluções reais desse sistema forma uma reta que passa pela origem em . Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas homogêneos, determinantes e espaço das soluções.

Passo 2

Primeiro, lembro que um sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial . Mas queremos saber sobre outras soluções além dessa.

Passo 3

O determinante da matriz é dado por . Quando , isso significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes. Ou seja, uma linha é múltiplo da outra.

Passo 4

Quando as linhas são dependentes ( ), o sistema tem infinitas soluções. Geometricamente, no plano , isso representa que todas as soluções estão alinhadas em uma reta que passa pela origem.

Passo 5

Como o enunciado afirma que (ou seja, pelo menos um elemento de é diferente de zero) e que , podemos concluir que o sistema não tem apenas a solução trivial, mas sim uma infinidade de soluções formando uma reta que passa pela origem.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto das soluções reais forma uma reta que passa pela origem de .

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