Dê a equação normal da reta que passa nos pontos (3,-1) e (1,2).

Passo 1

Beleza, você quer encontrar a equação normal da reta que passa pelos pontos (3,-1) e (1,2). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas e vetores normais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor indica a direção da reta e pode ser obtido subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados. Se temos os pontos (x1, y1) e (x2, y2), o vetor diretor d é:
d = (x2 - x1, y2 - y1)
Aplicando aos nossos pontos:
d = (1 - 3, 2 - (-1)) = (-2, 3)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à reta. O vetor normal é perpendicular ao vetor diretor. Se o vetor diretor é (a, b), então um vetor normal pode ser (b, -a). Assim, para d = (-2, 3):
n = (3, 2)

Passo 4

Com o vetor normal n = (3, 2) e sabendo que a reta passa pelo ponto (3,-1), podemos usar a forma normal da equação da reta, que é:
A x + B y = C
onde (A, B) são as componentes do vetor normal e C é dado por A x0 + B y0, sendo (x0, y0) um ponto da reta.
Substituindo os valores:
3x + 2y = 3(3) + 2(-1) 3x + 2y = 9 - 2 3x + 2y = 7

Resposta

A equação normal da reta é:
3x + 2y = 7

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