Descreva geometricamente este conjunto
e determine sua equação geral. Determine também um par de vetores unitários em
e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e precisamos descrevê-lo geometricamente, encontrar sua equação geral e depois determinar um par de vetores unitários que estejam em
e que sejam perpendiculares entre si, formando uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica e álgebra linear, como subespaços vetoriais, equações de planos e ortonormalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
é um subespaço vetorial definido por uma equação linear. Por exemplo, suponha que
seja o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Essa equação representa um plano que passa pela origem no espaço tridimensional.
Passo 3
Geometricamente, o conjunto
é um plano no espaço 3D que contém todos os pontos cujas coordenadas
,
e
somam zero. Esse plano é inclinado e intercepta os eixos coordenados nos pontos onde duas das três coordenadas são nulas. Por exemplo:
- Quando
e , temos . - Quando
e , temos . - Quando
e , temos .
Isso confirma que o plano passa pela origem.
Passo 4
Agora, vamos determinar a equação geral de
. Já temos essa equação como
. Mas, para deixar mais claro, podemos reescrever isso na forma
, onde
,
,
e
. Portanto, a equação geral de
é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar dois vetores unitários em
que sejam perpendiculares entre si, ou seja, uma base ortonormal para
. Vamos seguir os seguintes passos:
- Escolher dois vetores em
: Precisamos que esses vetores satisfaçam . - Garantir que eles sejam perpendiculares: Ou seja, o produto interno entre eles deve ser zero.
- Normalizar os vetores: Transformá-los em vetores unitários.
Vamos começar escolhendo dois vetores que satisfaçam a equação
. Por exemplo:
- Vetor
: Escolhemos , , então , resultando em . - Vetor
: Escolhemos , , então , resultando em .
Passo 6
Agora, vamos verificar se esses vetores são perpendiculares:
Como o produto interno é zero, os vetores são perpendiculares.
Passo 7
Em seguida, vamos normalizar os vetores
e
para torná-los unitários. A norma de um vetor
é dada por:
Calculando as normas:
- Para
:
- Para
:
Agora, os vetores unitários são:
Resposta
A base ortonormal de
é composta pelos vetores: