Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equação geral. Determine também um par de vetores unitários em W e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos descrevê-lo geometricamente, encontrar sua equação geral e depois determinar um par de vetores unitários que estejam em e que sejam perpendiculares entre si, formando uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de geometria analítica e álgebra linear, como subespaços vetoriais, equações de planos e ortonormalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que é um subespaço vetorial definido por uma equação linear. Por exemplo, suponha que seja o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação . Essa equação representa um plano que passa pela origem no espaço tridimensional.

Passo 3

Geometricamente, o conjunto é um plano no espaço 3D que contém todos os pontos cujas coordenadas , e somam zero. Esse plano é inclinado e intercepta os eixos coordenados nos pontos onde duas das três coordenadas são nulas. Por exemplo:
  • Quando e , temos .
  • Quando e , temos .
  • Quando e , temos .
Isso confirma que o plano passa pela origem.

Passo 4

Agora, vamos determinar a equação geral de 1x + 1y + 1z + 0 = 0 ou simp<=smente x + y + z = 0 . Já temos essa equação como . Mas, para deixar mais claro, podemos reescrever isso na forma , onde , , e . Portanto, a equação geral de é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar dois vetores unitários em que sejam perpendiculares entre si, ou seja, uma base ortonormal para . Vamos seguir os seguintes passos:
  1. Escolher dois vetores em : Precisamos que esses vetores satisfaçam .
  2. Garantir que eles sejam perpendiculares: Ou seja, o produto interno entre eles deve ser zero.
  3. Normalizar os vetores: Transformá-los em vetores unitários.
Vamos começar escolhendo dois vetores que satisfaçam a equação . Por exemplo:
  • Vetor : Escolhemos , , então , resultando em .
  • Vetor : Escolhemos , , então , resultando em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses vetores são perpendiculares:
u cdot v = (1)(1) + (-1)(1) + (0)(-2) = 1 - 1 + 0 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 7

Em seguida, vamos normalizar os vetores |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2 e |u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 para torná-los unitários. A norma de um vetor |v| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 é dada por:
u' = u|u| = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 )
Calculando as normas:
  • Para v' = v|v| = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) :
  • Para :
Agora, os vetores unitários são:

Resposta

A base ortonormal de u' = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 ) e v' = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) é composta pelos vetores:

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