Mostre que existem apenas três tipos de matrizes reduzidas por linhas
, tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que existem apenas três tipos de matrizes reduzidas por linhas de tamanho 2x2,
, que satisfazem a condição
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre formas reduzidas por linhas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz reduzida por linhas (ou forma reduzida por linhas). Uma matriz está reduzida por linhas se:
- O primeiro número não nulo em cada linha (chamado de pivô) é 1.
- Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
- Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais posições.
- Todas as linhas nulas estão na parte inferior da matriz.
Passo 3
Como estamos lidando com matrizes 2x2, vamos listar todas as possíveis formas reduzidas por linhas que uma matriz 2x2 pode ter:
- Matriz nula: Todas as entradas são zero.
- Uma única linha com pivô:
ou Onde “*” representa qualquer número real. - Duas linhas com pivôs:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição
para cada uma dessas formas reduzidas:
-
Matriz nula:Essa matriz já satisfaz a condição.
-
Matriz com uma única linha com pivô:
a): Portanto, a matriz fica:b): Portanto, a matriz fica: -
Matriz com duas linhas com pivôs:Aplicando a condição:Portanto, a matriz fica:
Resposta
Assim, as três únicas matrizes reduzidas por linhas 2x2 que satisfazem
são:
-
-
e -