Mostre que existem apenas três tipos de matrizes reduzidas por linhas A=[lla & b c & d], tais que a+b+c+d=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que existem apenas três tipos de matrizes reduzidas por linhas de tamanho 2x2, a & b c & d , que satisfazem a condição . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre formas reduzidas por linhas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz reduzida por linhas (ou forma reduzida por linhas). Uma matriz está reduzida por linhas se:
  1. O primeiro número não nulo em cada linha (chamado de pivô) é 1.
  2. Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
  3. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais posições.
  4. Todas as linhas nulas estão na parte inferior da matriz.

Passo 3

Como estamos lidando com matrizes 2x2, vamos listar todas as possíveis formas reduzidas por linhas que uma matriz 2x2 pode ter:
  1. Matriz nula: Todas as entradas são zero. 0 & 0 0 & 0
  2. Uma única linha com pivô: 1 & * 0 & 0 ou 0 & 0 1 & * Onde “*” representa qualquer número real.
  3. Duas linhas com pivôs: 1 & * 0 & 1

Passo 4

Agora, aplicamos a condição 0 + 0 + 0 + 0 = 0 para cada uma dessas formas reduzidas:
  1. Matriz nula:
    1 & b 0 & 0
    Essa matriz já satisfaz a condição.
  2. Matriz com uma única linha com pivô:
    a) 1 + b + 0 + 0 = 1 + b = 0 implies b = -1 :
    1 & -1 0 & 0
    Portanto, a matriz fica:
    0 & 0 1 & d
    b) 0 + 0 + 1 + d = 1 + d = 0 implies d = -1 :
    0 & 0 1 & -1
    Portanto, a matriz fica:
    1 & b 0 & 1
  3. Matriz com duas linhas com pivôs:
    1 + b + 0 + 1 = 2 + b = 0 implies b = -2
    Aplicando a condição:
    1 & -2 0 & 1
    Portanto, a matriz fica:

Resposta

Assim, as três únicas matrizes reduzidas por linhas 2x2 que satisfazem 0 & 0 0 & 0 são:
  1. 1 & -1 0 & 0
  2. 0 & 0 1 & -1 e 1 & -2 0 & 1

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