Encontre os valores de lambda (lambda) para os quais o sistema homogêneo
c 2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+lambda z=0
tenha uma solução diferente da solução trivial (x=y=z=0).

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações homogêneo com três equações e três incógnitas:
c 2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+lambda z=0
Nosso objetivo é encontrar os valores de lambda que fazem esse sistema ter uma solução diferente da solução trivial (x=y=z=0). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes, para verificar quando o sistema tem soluções não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 2 & -5 & 2 1 & 1 & 1 2 & 0 & lambda

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante é uma ferramenta que nos diz se a matriz é invertível ou não. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e o sistema tem soluções não triviais.
O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz A, isso fica:
det(A) = 2(1 cdot lambda - 1 cdot 0) - (-5)(1 cdot lambda - 1 cdot 2) + 2(1 cdot 0 - 1 cdot 2)
Simplificando cada parte:
det(A) = 2(lambda) - (-5)(lambda - 2) + 2(-2)
det(A) = 2lambda + 5(lambda - 2) - 4
det(A) = 2lambda + 5lambda - 10 - 4
det(A) = 7lambda - 14

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução diferente da trivial, o determinante precisa ser igual a zero:
7lambda - 14 = 0
Resolvendo para lambda:
7lambda = 14
lambda = 2

Resposta

O valor de lambda que faz o sistema ter uma solução não trivial é lambda = 2.

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