Considere o sistema linear homogêneo
, em que
. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se
, então todo vetor
de
é solução de
;
Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo representado por
, onde a matriz
é dada por:
O enunciado nos questiona se, quando
, todo vetor
em
é solução desse sistema. Para resolver, vamos precisar entender o que significa que um sistema seja homogêneo e como resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear homogêneo é da forma
, onde
é o vetor nulo. Nesse caso, estamos procurando vetores
que, quando multiplicados pela matriz
, resultem no vetor nulo.
Passo 3
Como
, podemos reescrever a matriz
da seguinte forma:
Agora, vamos multiplicar essa matriz pelo vetor
:
[
A X =
]
Passo 4
Para que
, ambas as equações resultantes devem ser iguais a zero:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para que a equação
seja verdadeira para todos os vetores
em
, temos duas possibilidades:
-
: Se for zero, então independentemente dos valores de e , a equação será satisfeita. -
: Isso significaria que , mas isso limita os vetores a uma linha específica, não sendo válido para todos os vetores em .
Passo 6
Como o enunciado não nos dá informações específicas sobre
, não podemos afirmar que
necessariamente. Portanto, na maioria dos casos, a equação
não será satisfeita para todos os vetores
em
.
Resposta
Falsa.