Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
Se a=b=c=d, então todo vetor X=(x1, x2) de R^2 é solução de A X=0;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo representado por A = a & b c & d , onde a matriz é dada por:
O enunciado nos questiona se, quando , todo vetor em é solução desse sistema. Para resolver, vamos precisar entender o que significa que um sistema seja homogêneo e como resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear homogêneo é da forma , onde é o vetor nulo. Nesse caso, estamos procurando vetores que, quando multiplicados pela matriz , resultem no vetor nulo.

Passo 3

Como A = a & a a & a , podemos reescrever a matriz A X = a & a a & a x1 x2 = a x1 + a x2 a x1 + a x2 da seguinte forma:

Agora, vamos multiplicar essa matriz pelo vetor :
[
A X =


]

Passo 4

Para que a x1 + a x2 = 0 a x1 + a x2 = 0 , ambas as equações resultantes devem ser iguais a zero:
a(x1 + x2) = 0
Isso simplifica para:

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira para todos os vetores em , temos duas possibilidades:
  1. : Se for zero, então independentemente dos valores de e , a equação será satisfeita.
  2. : Isso significaria que , mas isso limita os vetores a uma linha específica, não sendo válido para todos os vetores em .

Passo 6

Como o enunciado não nos dá informações específicas sobre , não podemos afirmar que necessariamente. Portanto, na maioria dos casos, a equação não será satisfeita para todos os vetores em .

Resposta

Falsa.

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