Determine a equação do plano que passa pelos seguintes pontos: , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: , e . A matéria envolvida aqui é geometria no espaço tridimensional, mais especificamente o estudo de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano usando três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano no espaço pode ser escrita na forma geral:
onde são os coeficientes que definem a orientação do plano, e é uma constante.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano. Uma maneira de obter esse vetor normal é encontrando dois vetores que estão no plano e, em seguida, calculando o produto vetorial deles.
Passo 4
Vamos chamar nossos pontos de , e . Primeiro, vamos construir dois vetores no plano:
Vetor PQ: subtraímos as coordenadas de das de :
Vetor PR: subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal ao plano:
Calculando cada parte:
n = i(4) - j(-2) + k(4) = (4, 2, 4)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
n = (2, 1, 2)
Passo 6
Com o vetor normal n = (2, 1, 2) e sabendo que o plano passa pelo ponto P(2,1,1), podemos usar a equação do plano na forma vetorial:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo:
2(x - 2) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0
Passo 7
Vamos expandir e simplificar a equação:
2x - 4 + y - 1 + 2z - 2 = 0 2x + y + 2z - 7 = 0
Resposta
A equação do plano que passa pelos pontos (2,1,1), (3,-1,1) e (4,1,-1) é: