Determine a equação do plano que passa pelos seguintes pontos: (2,1,1), (3,-1,1) e (4,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: (2,1,1), (3,-1,1) e (4,1,-1). A matéria envolvida aqui é geometria no espaço tridimensional, mais especificamente o estudo de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano usando três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano no espaço pode ser escrita na forma geral:
Ax + By + Cz + D = 0
onde (A, B, C) são os coeficientes que definem a orientação do plano, e D é uma constante.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano. Uma maneira de obter esse vetor normal é encontrando dois vetores que estão no plano e, em seguida, calculando o produto vetorial deles.

Passo 4

Vamos chamar nossos pontos de P(2,1,1), Q(3,-1,1) e R(4,1,-1). Primeiro, vamos construir dois vetores no plano:
  • Vetor PQ: subtraímos as coordenadas de P das de Q:
PQ = Q - P = (3-2, -1-1, 1-1) = (1, -2, 0)
  • Vetor PR: subtraímos as coordenadas de P das de R:
PR = R - P = (4-2, 1-1, -1-1) = (2, 0, -2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n ao plano:
n = PQ times PR = i & j & k 1 & -2 & 0 2 & 0 & -2 = (i)((-2)(-2) - (0)(0)) - (j)((1)(-2) - (0)(2)) + (k)((1)(0) - (-2)(2))
Calculando cada parte:
n = i(4) - j(-2) + k(4) = (4, 2, 4)
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
n = (2, 1, 2)

Passo 6

Com o vetor normal n = (2, 1, 2) e sabendo que o plano passa pelo ponto P(2,1,1), podemos usar a equação do plano na forma vetorial:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo:
2(x - 2) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0

Passo 7

Vamos expandir e simplificar a equação:
2x - 4 + y - 1 + 2z - 2 = 0 2x + y + 2z - 7 = 0

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos (2,1,1), (3,-1,1) e (4,1,-1) é:
2x + y + 2z - 7 = 0

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