Verifique se as retas X=(1,0,1)+t(3,-4,1) e X=(-1,0,5)+ t(-1,0,2) são concorrentes ou não. Em caso afirmativo, determine o cosseno do ângulo entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se duas retas no espaço são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se elas se cruzarem, a gente também precisa descobrir o cosseno do ângulo entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e trabalhar com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
  • Reta 1:
  • Reta 2:
Aqui, e são os parâmetros que variam ao longo de cada reta.

Passo 3

Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que satisfaça as duas equações simultaneamente. Ou seja, devemos encontrar valores de 1 + 3t = -1 - s e 0 - 4t = 0 + 0s implies -4t = 0 que tornem as coordenadas das duas retas iguais.
Vamos igualar as componentes:
  1. Componente x: 1 + t = 5 + 2s
  2. Componente y:
  3. Componente z:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
-4t = 0 implies t = 0
Com 1 + 3(0) = -1 - s implies 1 = -1 - s implies s = -2 , vamos substituir na primeira e terceira equações:
  1. Primeira equação: 1 + 0 = 5 + 2(-2) implies 1 = 5 - 4 implies 1 = 1
  2. Terceira equação:
As igualdades são satisfeitas, então existe um ponto comum para e .

Passo 5

Como encontramos valores de cos(theta) = u cdot v|u|,|v| e que satisfazem as equações, as retas são concorrentes. Agora, vamos determinar o cosseno do ângulo entre elas.
Para isso, precisamos dos vetores diretores das retas:
  • Vetor diretor da Reta 1:
  • Vetor diretor da Reta 2:
O cosseno do ângulo entre os vetores é dado pela fórmula:
Onde é o produto escalar e , são as magnitudes dos vetores.

Passo 6

Calculando o produto escalar:
u cdot v = (3)(-1) + (-4)(0) + (1)(2) = -3 + 0 + 2 = -1
Calculando as magnitudes:
|u| = raiz3^2 + (-4)^2 + 1^2 = raiz9 + 16 + 1 = raiz26
|v| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -1raiz26 times raiz5 = -1raiz130 approx -0,087

Resposta

As retas são concorrentes e o cosseno do ângulo entre elas é aproximadamente .

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