Verifique se as retas
e
são concorrentes ou não. Em caso afirmativo, determine o cosseno do ângulo entre elas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se duas retas no espaço são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se elas se cruzarem, a gente também precisa descobrir o cosseno do ângulo entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e trabalhar com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
- Reta 1:
- Reta 2:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam ao longo de cada reta.
Passo 3
Para as retas serem concorrentes, deve existir um ponto que satisfaça as duas equações simultaneamente. Ou seja, devemos encontrar valores de
e
que tornem as coordenadas das duas retas iguais.
Vamos igualar as componentes:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Com
, vamos substituir na primeira e terceira equações:
- Primeira equação:
- Terceira equação:
As igualdades são satisfeitas, então existe um ponto comum para
e
.
Passo 5
Como encontramos valores de
e
que satisfazem as equações, as retas são concorrentes. Agora, vamos determinar o cosseno do ângulo entre elas.
Para isso, precisamos dos vetores diretores das retas:
- Vetor diretor da Reta 1:
- Vetor diretor da Reta 2:
O cosseno do ângulo
entre os vetores é dado pela fórmula:
Onde
é o produto escalar e
,
são as magnitudes dos vetores.
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Calculando as magnitudes:
Passo 7
Agora, substituindo na fórmula do cosseno:
Resposta
As retas são concorrentes e o cosseno do ângulo entre elas é aproximadamente
.