Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre R ).
(i) S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2 x2, x2+4 x4=0, e 4 x2+x3=0.
(ii) S=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23] in M2 times 3(R) ; a21+a23=0, a11=0 e a12+a22+1=0
(iii) S=a x^3+b x^2+c x+d in P3[x](R) ; a+b+c+d=0, b=2 c e a=3 d
(iv) S subset Mn times n(R), onde S é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano R^3.
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano R^3.

Passo 1

Beleza, a gente tem um conjunto x1 = 2x2, x2 + 4x4 = 0, 4x2 + x3 = 0 de vetores em definidos pelas condições:
A questão é saber se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em x1 = 2x2 Rightarrow 0 = 2 times 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ . O vetor zero em x2 + 4x4 = 0 Rightarrow 0 + 4 times 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ é 4x2 + x3 = 0 Rightarrow 4 times 0 + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ .
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
E na terceira:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se u1 = 2u2, u2 + 4u4 = 0, 4u2 + u3 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer de v1 = 2v2, v2 + 4v4 = 0, 4v2 + v3 = 0 , a soma deles também deve estar em (u1 + v1) = 2(u2 + v2) porque u1 = 2u2 e v1 = 2v2 .
Vamos considerar dois vetores (u2 + v2) + 4(u4 + v4) = (u2 + 4u4) + (v2 + 4v4) = 0 + 0 = 0 e 4(u2 + v2) + (u3 + v3) = (4u2 + u3) + (4v2 + v3) = 0 + 0 = 0 em . Segundo as condições de :
Vamos somar .
Verificando as condições:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Passo 4

Por último, vamos verificar se cu = (cu1, cu2, cu3, cu4) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se cu1 = c(2u2) = 2(cu2) ✔ está em cu2 + 4(cu4) = c(u2 + 4u4) = c times 0 = 0 ✔ e 4(cu2) + cu3 = c(4u2 + u3) = c times 0 = 0 ✔ é um número real, então também deve estar em .
Multiplicando por :
Verificando as condições:
Então, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados