Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
).
(i)
, e
.
(ii)
e
(iii)
e
(iv)
, onde
é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de
cujas primeiras
coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de
que têm
coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano
.
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) O conjunto dos vetores de
(vi) O conjunto dos vetores de
(vii) O conjunto dos vetores de
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano
Passo 1
Beleza, a gente tem um conjunto
de vetores em
definidos pelas condições:
A questão é saber se esse conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
E na terceira:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Segundo as condições de
:
Vamos somar
.
Verificando as condições:
Portanto,
também satisfaz as condições de
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Multiplicando
por
:
Verificando as condições:
Então,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.