Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre ).
(i) , e .
(ii) e
(iii) e
(iv) , onde é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de cujas primeiras coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de que têm coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano .
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano .
Passo 1
Beleza, a gente tem um conjunto de vetores em definidos pelas condições:
A questão é saber se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
E na terceira:
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores e em . Segundo as condições de :
Vamos somar .
Verificando as condições:
Portanto, também satisfaz as condições de .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se está em e é um número real, então também deve estar em .