Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre R ).
(i) S=(x1, x2, x3, x4) in R^4 ; x1=2 x2, x2+4 x4=0, e 4 x2+x3=0.
(ii) S=[llla11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23] in M2 times 3(R) ; a21+a23=0, a11=0 e a12+a22+1=0
(iii) S=a x^3+b x^2+c x+d in P3[x](R) ; a+b+c+d=0, b=2 c e a=3 d
(iv) S subset Mn times n(R), onde S é o conjunto das matrizes simétricas.
(v) O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(vi) O conjunto dos vetores de R^n cujas primeiras k coordenadas são iguais.
(vii) O conjunto dos vetores de R^n que têm k coordenadas iguais.
(viii) O conjunto das retas no espaço euclidiano R^3.
(ix) O conjunto das retas que passam na origem no espaço euclidiano R^3.

Passo 1

Beleza, a gente tem um conjunto x1 = 2x2, x2 + 4x4 = 0, 4x2 + x3 = 0 de vetores em definidos pelas condições:
A questão é saber se esse conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em x1 = 2x2 Rightarrow 0 = 2 times 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ . O vetor zero em x2 + 4x4 = 0 Rightarrow 0 + 4 times 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ é 4x2 + x3 = 0 Rightarrow 4 times 0 + 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 ✔ .
Substituindo na primeira equação:
Na segunda equação:
E na terceira:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se u1 = 2u2, u2 + 4u4 = 0, 4u2 + u3 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer de v1 = 2v2, v2 + 4v4 = 0, 4v2 + v3 = 0 , a soma deles também deve estar em (u1 + v1) = 2(u2 + v2) porque u1 = 2u2 e v1 = 2v2 .
Vamos considerar dois vetores (u2 + v2) + 4(u4 + v4) = (u2 + 4u4) + (v2 + 4v4) = 0 + 0 = 0 e 4(u2 + v2) + (u3 + v3) = (4u2 + u3) + (4v2 + v3) = 0 + 0 = 0 em . Segundo as condições de :
Vamos somar .
Verificando as condições:
Portanto, também satisfaz as condições de .

Passo 4

Por último, vamos verificar se cu = (cu1, cu2, cu3, cu4) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se cu1 = c(2u2) = 2(cu2) ✔ está em cu2 + 4(cu4) = c(u2 + 4u4) = c times 0 = 0 ✔ e 4(cu2) + cu3 = c(4u2 + u3) = c times 0 = 0 ✔ é um número real, então também deve estar em .
Multiplicando por :
Verificando as condições:
Então, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado:
W subset P3(R) gerado por 1,1-t, no produto interno.
lang<= h1, h2rang<==integral-1^1 h1(t) h2(t) d t
Verificar se os seguintes pontos de R^4 determinam um hiperplano:
(i) P1=(2,1,3,0), P2=(1,0,2,5), P3=(1,4,1,2) e P4=(0,1,3,2).
(ii) P1=(1,0,0,2), P2=(1,3,4,5), P3=(0,2,0,5) e P4=(2,1,0,3).
Sejam A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], C=[ccc1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4], D=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]. Calcule as seguintes operações (quando possível):
(b) (C A)^T
Considere o sistema linear homogêneo A X=0, em que A=[lla & b c & d]. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(i) Se a=b=c=d, então todo vetor X=(x1, x2) de R^2 é solução de A X=0;
(ii) Se a d-b c=0, então o sistema A X=0 só possui a solução trivial x1=x2=0;
(iii) Se A neq 0 e a d-b c=0, então o conjunto das soluções reais de A X=0 é uma reta que passa pela origem de R^2.