No espaço euclidiano , defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do .
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto com as operações definidas e . Para isso, precisamos lembrar quais são esses axiomas e ver quais eles são cumpridos com essas operações diferenciadas.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os axiomas de um espaço vetorial para termos uma visão clara do que precisamos verificar:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro: Existe um vetor tal que
  4. Elemento inverso: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação escalar:
  6. Elemento neutro da multiplicação:
  7. Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares:

Passo 3

Vamos verificar o axioma 1: Comutatividade da adição.
Calculando e .
Para , precisaríamos que , o que implica que para todo , o que só é verdade se . Portanto, a adição não é comutativa nesse caso.

Passo 4

Agora, o axioma 2: Associatividade da adição.
Vamos calcular e .
Para serem iguais, precisaríamos que para todo , o que só é verdade se . Portanto, a adição não é associativa.

Passo 5

Vamos verificar o axioma 3: Elemento neutro.
Procuramos um vetor tal que .
Calculando .
Então, o vetor zero padrão de funciona como elemento neutro.

Passo 6

Agora, o axioma 4: Elemento inverso.
Para todo , precisamos de tal que .
Calculando
Para isso ser igual a zero, precisaríamos que , ou seja, . Isso só acontece para o vetor zero, então, em geral, não há inverso para todos os vetores.

Passo 7

Vamos ao axioma 5: Compatibilidade da multiplicação escalar.
Precisamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.

Passo 8

Verificamos o axioma 6: Elemento neutro da multiplicação.
Precisamos que .
Calculando .
Para ser igual a , precisaríamos que , o que só acontece se . Portanto, o axioma não é satisfeito.

Passo 9

Vamos ao axioma 7: Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
Verificamos se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.

Passo 10

Por fim, o axioma 8: Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares.
Precisamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Para serem iguais, precisaríamos que , ou seja, , o que só ocorre se ou . Portanto, o axioma não é satisfeito.

Resposta

Os axiomas satisfeitos por são:
  1. Elemento neutro da adição.
  2. Compatibilidade da multiplicação escalar.
  3. Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
Os demais axiomas não são satisfazidos com as operações definidas.

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