No espaço euclidiano
, defina duas operações
As operações que aparecem à direita de ambas as igualdades são as usuais do
.
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
?
Quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar quais dos axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto
com as operações definidas
e
. Para isso, precisamos lembrar quais são esses axiomas e ver quais eles são cumpridos com essas operações diferenciadas.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os axiomas de um espaço vetorial para termos uma visão clara do que precisamos verificar:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação escalar:
- Elemento neutro da multiplicação:
- Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares:
Passo 3
Vamos verificar o axioma 1: Comutatividade da adição.
Calculando
e
.
Para
, precisaríamos que
, o que implica que
para todo
, o que só é verdade se
. Portanto, a adição não é comutativa nesse caso.
Passo 4
Agora, o axioma 2: Associatividade da adição.
Vamos calcular
e
.
Para serem iguais, precisaríamos que
para todo
, o que só é verdade se
. Portanto, a adição não é associativa.
Passo 5
Vamos verificar o axioma 3: Elemento neutro.
Procuramos um vetor
tal que
.
Calculando
.
Então, o vetor zero padrão de
funciona como elemento neutro.
Passo 6
Agora, o axioma 4: Elemento inverso.
Para todo
, precisamos de
tal que
.
Calculando
Para isso ser igual a zero, precisaríamos que
, ou seja,
. Isso só acontece para o vetor zero, então, em geral, não há inverso para todos os vetores.
Passo 7
Vamos ao axioma 5: Compatibilidade da multiplicação escalar.
Precisamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.
Passo 8
Verificamos o axioma 6: Elemento neutro da multiplicação.
Precisamos que
.
Calculando
.
Para ser igual a
, precisaríamos que
, o que só acontece se
. Portanto, o axioma não é satisfeito.
Passo 9
Vamos ao axioma 7: Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
Verificamos se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, o axioma é satisfeito.
Passo 10
Por fim, o axioma 8: Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares.
Precisamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Para serem iguais, precisaríamos que
, ou seja,
, o que só ocorre se
ou
. Portanto, o axioma não é satisfeito.
Resposta
Os axiomas satisfeitos por
são:
- Elemento neutro da adição.
- Compatibilidade da multiplicação escalar.
- Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores.
Os demais axiomas não são satisfazidos com as operações definidas.
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Soma de vetores no espaço e multiplicação por escalar) Sejam
. Calcule:
.
Prove que a fórmula
define um produto interno em
gerado pela matriz nãosingular
.