Considere o Sistema Linear
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
Possui nenhuma solução
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa aqui. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é encontrar os valores de e que fazem esse sistema não ter solução nenhuma. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinantes e sistemas incompatíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
x + y + z = 1 x + 2y - z = 4 x + y + a z = b
Nosso objetivo é encontrar quando esse sistema é inconsistente, ou seja, quando não existe nenhum conjunto de valores de , e que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Para isso, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & 1 & a
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz |A| = 1 cdot (2 cdot a - (-1) cdot 1) - 1 cdot (1 cdot a - (-1) cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) :
|A| = 1(2a + 1) - 1(a + 1) + 1(1 - 2)
|A| = 2a + 1 - a - 1 -1
|A| = a -1
Passo 4
Para o sistema não ter solução, duas coisas precisam acontecer:
O determinante da matriz dos coeficientes A' = 1 & 1 & 1 & | & 1 1 & 2 & -1 & | & 4 1 & 1 & 1 & | & b deve ser zero, ou seja, , o que dá .
No mesmo sistema, precisamos que o determinante da matriz aumentada seja diferente de zero para garantir a incompatibilidade.
Vamos verificar a matriz aumentada:
Aplicando , a terceira equação fica .
Passo 5
Agora, observamos as duas primeiras equações:
(x + 2y - z) - (x + y + z) = 4 - 1
y - 2z = 3
Se subtrairmos a primeira da segunda, temos:
Agora, a terceira equação com é igual à primeira: .
Passo 6
Para que o sistema seja inconsistente, a terceira equação não deve ser uma combinação das duas primeiras. Mas se , a terceira equação é praticamente igual à primeira, a menos que seja diferente de 1.
Então, se e , teremos uma contradição, já que a terceira equação dirá que , enquanto a primeira diz que . Se for diferente de 1, essas duas equações não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
Resposta
Para o sistema não ter nenhuma solução, os valores devem ser e .