Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
Passo 1
Então, temos que verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
das funções de
para
. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços, que envolvem verificar se
satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero no espaço
é a função
para todo
. Vamos ver se essa função pertence a
:
Como
para todo
, a função zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
são funções em
, então
também deve estar em
.
Sabemos que:
Como
e
, temos:
Portanto,
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se
está em
e
, então
também deve estar em
.
Considerando:
Como
, temos:
Logo,
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições para ser um subespaço de
. Portanto,
é um subespaço de
.