Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W3=f in V ; f(t)=f(t-1)

Passo 1

Então, temos que verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial das funções de para . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços, que envolvem verificar se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(t) = 0 e f(t-1) = 0 contém o vetor zero. O vetor zero no espaço é a função para todo . Vamos ver se essa função pertence a :
Como para todo , a função zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se (f + g)(t) = f(t) + g(t) e (f + g)(t-1) = f(t-1) + g(t-1) é fechado sob adição. Ou seja, se (f + g)(t) = f(t-1) + g(t-1) = (f + g)(t-1) e são funções em , então também deve estar em .
Sabemos que:
Como e , temos:
Portanto, .

Passo 4

Por último, vamos verificar se (alpha cdot f)(t) = alpha f(t) e (alpha cdot f)(t-1) = alpha f(t-1) é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se (alpha cdot f)(t) = alpha f(t-1) = (alpha cdot f)(t-1) está em e , então também deve estar em .
Considerando:
Como , temos:
Logo, .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de .

Exercícios relacionados