Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de .
Passo 1
Então, temos que verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial das funções de para . Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e subespaços, que envolvem verificar se satisfaz três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero no espaço é a função para todo . Vamos ver se essa função pertence a :
Como para todo , a função zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se e são funções em , então também deve estar em .
Sabemos que:
Como e , temos:
Portanto, .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalares. Ou seja, se está em e , então também deve estar em .
Considerando:
Como , temos:
Logo, .
Resposta
O conjunto satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Portanto, é um subespaço de .