Considere o Sistema Linear
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
Possui apenas uma solução
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que esse sistema tenha apenas uma solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. As equações são:
x + y + z = 1 x + 2y - z = 4 x + y + a z = b
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes A e um vetor de constantes B:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & 1 & a , B = 1 4 b
Passo 3
Para o sistema ter apenas uma solução, a matriz de coeficientes A precisa ser invertível, ou seja, o seu determinante deve ser diferente de zero (det(A) neq 0). Vamos calcular o determinante de A.
Passo 4
O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
Para que o sistema tenha apenas uma solução, precisamos que det(A) neq 0:
a - 1 neq 0 implies a neq 1
Passo 7
Com a neq 1, a matriz A é invertível, e o sistema terá uma única solução para qualquer valor de b. Portanto, não há restrições sobre b além de ser um número real.
Resposta
Os valores de a e b que fazem o sistema ter apenas uma solução são todos os números reais com a neq 1. Ou seja: