Considere o Sistema Linear lx+y+z=1 x+2 y-z=4 x+y+a z=b
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
Possui apenas uma solução

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas ( x, y, z). Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que fazem com que esse sistema tenha apenas uma solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. As equações são:
x + y + z = 1 x + 2y - z = 4 x + y + a z = b
Podemos representar isso como uma matriz de coeficientes A e um vetor de constantes B:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 1 & 1 & a , B = 1 4 b

Passo 3

Para o sistema ter apenas uma solução, a matriz de coeficientes A precisa ser invertível, ou seja, o seu determinante deve ser diferente de zero ( det(A) neq 0). Vamos calcular o determinante de A.

Passo 4

O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando isso à nossa matriz A:
det(A) = 1 cdot (2 cdot a - (-1) cdot 1) - 1 cdot (1 cdot a - (-1) cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
det(A) = 1 cdot (2a + 1) - 1 cdot (a + 1) + 1 cdot (1 - 2)
det(A) = 2a + 1 - a - 1 - 1
det(A) = (2a - a) + (1 - 1) - 1
det(A) = a - 1

Passo 6

Para que o sistema tenha apenas uma solução, precisamos que det(A) neq 0:
a - 1 neq 0 implies a neq 1

Passo 7

Com a neq 1, a matriz A é invertível, e o sistema terá uma única solução para qualquer valor de b. Portanto, não há restrições sobre b além de ser um número real.

Resposta

Os valores de a e b que fazem o sistema ter apenas uma solução são todos os números reais com a neq 1. Ou seja:
a neq 1 e b in R

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo. Possui Solução? A Solução é única? Possui infinitas Soluções?
lx-y-z=4 x-y+z=2
Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W5=f in V ; f(-x)=-f(x), forall x in R
[ 2 pts] Para que valores de m o sistema lllx+y & +m z=2 3 x+4 y & +2 z & =m 2 x+3 y & +z & =1 admite solução?
[ 2 pts ] Considere a matriz
A=[ccc -4 & 0 & -10 -2 & -4 & -4 2 & -2 & 6 ]
Determine, se existir, a matriz A^-1.