Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W5=f in V ; f(-x)=-f(x), forall x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial que é o conjunto de todas as funções de para . Queremos verificar se o conjunto , que consiste nas funções impares (ou seja, funções que satisfazem para todo ), é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar as propriedades necessárias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para que seja um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
  1. Não-vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar em , então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. f(-x) = 0 e -f(x) = -0 = 0 não é vazio:
O primeiro passo é mostrar que não está vazio. Para isso, vamos verificar se a função zero está em .
A função zero é definida por para todo .
Vamos verificar se :
Então, , o que significa que a função zero está em . Portanto, não é vazio.

Passo 4

2. f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x) forall x in R é fechado sob adição:
Agora, vamos verificar se a soma de duas funções em (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x) também está em .
Sejam . Então, por definição:
Queremos mostrar que . Vamos calcular:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. (alpha cdot f)(-x) = alpha cdot f(-x) = alpha cdot (-f(x)) = -alpha cdot f(x) = -(alpha cdot f)(x) é fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos verificar se multiplicar uma função de por um escalar resulta em outra função que também está em .
Sejam e . Precisamos mostrar que .
Vamos calcular:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não é vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
l x+y-z=1 2 x+3 y+a z=3 x+a y+3 z=2
Tenha:
a) Nenhuma Solução.
Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W1=f in V ; f(1)=1
Resolva os sistemas abaixo. Possui Solução? A Solução é única? Possui infinitas Soluções?
lx-y-z=4 x-y+z=2
Considere o Sistema Linear lx+y+z=1 x+2 y-z=4 x+y+a z=b
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
Possui apenas uma solução