Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial
que é o conjunto de todas as funções de
para
. Queremos verificar se o conjunto
, que consiste nas funções impares (ou seja, funções que satisfazem
para todo
), é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar as propriedades necessárias passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para que
seja um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições:
- Não-vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar em , então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1.
não é vazio:
O primeiro passo é mostrar que
não está vazio. Para isso, vamos verificar se a função zero está em
.
A função zero é definida por
para todo
.
Vamos verificar se
:
Então,
, o que significa que a função zero está em
. Portanto,
não é vazio.
Passo 4
2.
é fechado sob adição:
Agora, vamos verificar se a soma de duas funções em
também está em
.
Sejam
. Então, por definição:
Queremos mostrar que
. Vamos calcular:
Isso mostra que
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos verificar se multiplicar uma função de
por um escalar resulta em outra função que também está em
.
Sejam
e
. Precisamos mostrar que
.
Vamos calcular:
Isso mostra que
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não é vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço de
.