Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial que é o conjunto de todas as funções de para . Queremos verificar se o conjunto , que consiste nas funções impares (ou seja, funções que satisfazem para todo ), é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e verificar as propriedades necessárias passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Para que seja um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições:
Não-vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar em , então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. não é vazio:
O primeiro passo é mostrar que não está vazio. Para isso, vamos verificar se a função zero está em .
A função zero é definida por para todo .
Vamos verificar se :
Então, , o que significa que a função zero está em . Portanto, não é vazio.
Passo 4
2. é fechado sob adição:
Agora, vamos verificar se a soma de duas funções em também está em .
Sejam . Então, por definição:
Queremos mostrar que . Vamos calcular:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 5
3. é fechado sob multiplicação por escalar:
Por último, vamos verificar se multiplicar uma função de por um escalar resulta em outra função que também está em .
Sejam e . Precisamos mostrar que .
Vamos calcular:
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como não é vazio, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço de .