Considere o Sistema Linear
Determine os valores de a e b para os quais o Sistema Linear:
Possui um número infinito de soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que tem três equações com três incógnitas: , e . O objetivo é encontrar os valores de e que fazem com que o sistema tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como eliminação de variáveis e análise de consistência das equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais clara:
x + y + z = 1 (Equação 1) x + 2y - z = 4 (Equação 2) x + y + a z = b (Equação 3) çãçãçã
Passo 3
Nos sistemas lineares, para ter infinitas soluções, as equações precisam ser dependentes, ou seja, uma delas deve ser uma combinação linear das outras. Vamos tentar eliminar uma das variáveis para facilitar.
Passo 4
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (x + 2y - z) - (x + y + z) = 4 - 1 0x + y - 2z = 3 (Equação 4) :
çã
Passo 5
Agora, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 3 para também eliminar (x + y + a z) - (x + y + z) = b - 1 0x + 0y + (a - 1)z = b - 1 (Equação 5) :
çã
Passo 6
Para que o sistema tenha infinitas soluções, a Equação 5 precisa ser uma múltipla da Equação 4. Isso significa que os coeficientes devem ser proporcionais.
Então, temos:
a - 1 = k cdot 1 b - 1 = k cdot 3
Onde é uma constante de proporcionalidade.
Passo 7
Vamos escolher b - 1 = 3(a - 1) e substituir na segunda equação:
b - 1 = 3a - 3 b = 3a - 2
Simplificando:
Passo 8
Então, para que o sistema tenha infinitas soluções, deve ser igual a .
Resposta
Os valores de e que tornam o sistema com infinitas soluções satisfazem a relação .