Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(d) Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz dada por:
O nosso objetivo é descobrir se essa matriz tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e operações elementares.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores:
Substituindo os valores de :
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Para encontrar a inversa de , podemos usar o método da matriz triangular inferior, já que é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Em matrizes triangulares, o cálculo da inversa é mais simples.
Passo 5
Em uma matriz triangular inferior, a inversa também será triangular inferior. Vamos construir passo a passo, garantindo que , onde é a matriz identidade.
Passo 6
Começamos colocando 1’s na diagonal da matriz inversa:
Agora, precisamos encontrar os valores de , e .
Passo 7
Multiplicamos por e igualamos a matriz identidade:
Passo 8
Calculando a multiplicação das matrizes:
Simplificando, obtemos:
Passo 9
Resolvendo as equações:
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Agora que temos os valores de , e , podemos montar a matriz inversa: