Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(d) Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz dada por:
O nosso objetivo é descobrir se essa matriz tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e operações elementares.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores:
Substituindo os valores de :
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Para encontrar a inversa de , podemos usar o método da matriz triangular inferior, já que é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Em matrizes triangulares, o cálculo da inversa é mais simples.

Passo 5

Em uma matriz triangular inferior, a inversa também será triangular inferior. Vamos construir passo a passo, garantindo que , onde é a matriz identidade.

Passo 6

Começamos colocando 1’s na diagonal da matriz inversa:
Agora, precisamos encontrar os valores de , e .

Passo 7

Multiplicamos por e igualamos a matriz identidade:

Passo 8

Calculando a multiplicação das matrizes:
Simplificando, obtemos:

Passo 9

Resolvendo as equações:
Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Agora que temos os valores de , e , podemos montar a matriz inversa:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(b)
Determine para que não tenha inversa e determine a inversa para .
Os cossenos diretores de um vetor são e . Determine . Resp:
Considere o sistema linear , onde: e .
© Qual a classificação deste sistema?