Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(d) A=[lll1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1] Resp: A^-1=[ccc1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 16 & -7 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz A = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1 dada por:
O nosso objetivo é descobrir se essa matriz tem uma inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e operações elementares.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Substituindo os valores de det(A) = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 7) - 0(3 cdot 1 - 0 cdot 5) + 0(3 cdot 7 - 1 cdot 5) = 1(1) - 0 + 0 = 1 :
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Para encontrar a inversa de , podemos usar o método da matriz triangular inferior, já que é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Em matrizes triangulares, o cálculo da inversa é mais simples.

Passo 5

Em uma matriz triangular inferior, a inversa também será triangular inferior. Vamos construir passo a passo, garantindo que , onde é a matriz identidade.

Passo 6

Começamos colocando 1’s na diagonal da matriz inversa:
A^-1 = 1 & 0 & 0 x & 1 & 0 y & z & 1
Agora, precisamos encontrar os valores de , e .

Passo 7

Multiplicamos A cdot A^-1 = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 5 & 7 & 1 cdot 1 & 0 & 0 x & 1 & 0 y & z & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 por e igualamos a matriz identidade:

Passo 8

Calculando a multiplicação das matrizes:
1 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot y = 1 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot z = 0 1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 3 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot y = 0 3 cdot 0 + 1 cdot 1 + 0 cdot z = 1 3 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 5 cdot 1 + 7 cdot x + 1 cdot y = 0 5 cdot 0 + 7 cdot 1 + 1 cdot z = 0 5 cdot 0 + 7 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1
Simplificando, obtemos:
3 + x = 0 5 + 7x + y = 0 7 + z = 0

Passo 9

Resolvendo as equações:
x = -3
7 + z = 0 implies z = -7
Substituindo 5 + 7(-3) + y = 0 implies 5 - 21 + y = 0 implies y = 16 na segunda equação:

Passo 10

Agora que temos os valores de A^-1 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 16 & -7 & 1 , e , podemos montar a matriz inversa:

Resposta

A^-1 = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 16 & -7 & 1

Exercícios relacionados