Os cossenos diretores de um vetor v são 45^circ, 60^circ, 120^circ e |v|=2. Determine v. Resp: v=(raiz2, 1,-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v com magnitude igual a 2 e os cossenos diretores em relação aos eixos x, y e z são 45^circ, 60^circ e 120^circ, respectivamente. Nosso objetivo é determinar as componentes desse vetor, ou seja, encontrar v = (vx, vy, vz).

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o conceito de cossenos diretores. Os cossenos diretores são os cossenos dos ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados. Eles nos ajudam a encontrar as componentes do vetor em cada direção.
A fórmula para cada componente é:
vi = |v| cdot cos(alphai)
onde:
  • vi é a componente na direção i ( x, y ou z),
  • |v| é a magnitude do vetor,
  • alphai é o ângulo que o vetor forma com o eixo i.

Passo 3

Vamos calcular cada componente separadamente.
Componente em x:
vx = 2 cdot cos(45^circ)
Sabemos que cos(45^circ) = raiz22, então:
vx = 2 cdot raiz22 = raiz2
Componente em y:
vy = 2 cdot cos(60^circ)
Sabemos que cos(60^circ) = 12, então:
vy = 2 cdot 12 = 1
Componente em z:
vz = 2 cdot cos(120^circ)
Sabemos que cos(120^circ) = -12, então:
vz = 2 cdot (-12) = -1

Resposta

v = (raiz2, 1, -1)

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