Considere o sistema linear , onde. e .
(d) Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema linear , onde a matriz é uma matriz 3x3 específica e é um vetor coluna. O que você quer é que a gente determine o determinante da matriz , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do determinante para matrizes 3x3 e seguir passo a passo para encontrar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace (expansão por cofatores). Vamos usar a regra de Sarrus porque ela é mais direta para matrizes 3x3.

Passo 3

A regra de Sarrus funciona assim: escrevemos a matriz original e repetimos as duas primeiras colunas à direita dela para facilitar os cálculos. Depois, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os produtos das diagonais secundárias.
Vamos aplicar isso à nossa matriz :
Repetindo as duas primeiras colunas à direita:

Passo 4

Agora, vamos calcular as diagonais principais e suas multiplicações:
1ª diagonal:
2ª diagonal:
3ª diagonal:
Somando essas três:

Passo 5

Agora, vamos calcular as diagonais secundárias:
á
1ª diagonal:
2ª diagonal:
3ª diagonal:
Somando essas três:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra de Sarrus:
á
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O determinante da matriz é zero, ou seja, .

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