Considere o sistema linear A X=B, onde. A=[ccc1 & 1 & -1 3 & -2 & 2 -2 & 3 & -3] e B=[c4 7 -3].
(d) Determine det(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema linear , onde a matriz é uma matriz 3x3 específica e é um vetor coluna. O que você quer é que a gente determine o determinante da matriz , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do determinante para matrizes 3x3 e seguir passo a passo para encontrar esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace (expansão por cofatores). Vamos usar a regra de Sarrus porque ela é mais direta para matrizes 3x3.

Passo 3

A regra de Sarrus funciona assim: escrevemos a matriz original e repetimos as duas primeiras colunas à direita dela para facilitar os cálculos. Depois, somamos os produtos das diagonais principais e subtraímos os produtos das diagonais secundárias.
Vamos aplicar isso à nossa matriz A = 1 & 1 & -1 3 & -2 & 2 -2 & 3 & -3 :
ccc|cc 1 & 1 & -1 & 1 & 1 3 & -2 & 2 & 3 & -2 -2 & 3 & -3 & -2 & 3
Repetindo as duas primeiras colunas à direita:

Passo 4

Agora, vamos calcular as diagonais principais e suas multiplicações:
Diagonais principais:
1ª diagonal:
2ª diagonal:
3ª diagonal:
Somando essas três:

Passo 5

Agora, vamos calcular as diagonais secundárias:
Diagonais secundárias: á
1ª diagonal:
2ª diagonal:
3ª diagonal:
Somando essas três:

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra de Sarrus:
det(A) = Soma das diagonais principais - Soma das diagonais secundárias á
Substituindo os valores que calculamos:
det(A) = (-7) - (-7) = -7 + 7 = 0

Resposta

O determinante da matriz é zero, ou seja, .

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