Resolva os sistemas lineares usando o método da eliminaçũo de Gauss.
(f) l2 x+y+z+w=1 x+2 y+z+w=2 x+y+2 z+w=3 x+y+z+2 w=4 Resp: X=[c-1 0 1 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da eliminação de Gauss. Estamos lidando com álgebra linear aqui. Para resolver, vamos transformar essas equações em uma matriz aumentada e usar operações nas linhas para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita o processo de eliminação. A matriz fica assim:
2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 1 & 2 & 1 & 1 & | & 2 1 & 1 & 2 & 1 & | & 3 1 & 1 & 1 & 2 & | & 4

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô, que é o 2 na primeira linha e primeira coluna.
Para isso, vamos fazer as seguintes operações:
  • Linha 2: Subtrair 2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & | & 1.5 0 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & | & 2.5 0 & 0.5 & 0.5 & 1.5 & | & 3.5 da Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair da Linha 1 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair da Linha 1 da Linha 4.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô, que é o 1.5 na segunda linha e segunda coluna. Para isso:
  • Linha 3: Subtrair 2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & | & 1.5 0 & 0 & 1.333 & 0.333 & | & 2.333 0 & 0 & 0.333 & 1.333 & | & 3.333 da Linha 2 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtrair da Linha 2 da Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Continuando, vamos eliminar o elemento abaixo do terceiro pivô, que é aproximadamente 1.333 na terceira linha e terceira coluna. Para isso:
  • Linha 4: Subtrair 2 & 1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1.5 & 0.5 & 0.5 & | & 1.5 0 & 0 & 1.333 & 0.333 & | & 2.333 0 & 0 & 0 & 1 & | & 2 da Linha 3 da Linha 4.
A matriz resultante fica:

Passo 6

Agora que temos a matriz na forma triangular superior, podemos fazer a substituição para encontrar os valores das variáveis.
  • A partir da última linha, já sabemos que 1.333z + 0.333 times 2 = 2.333 1.333z + 0.666 = 2.333 1.333z = 1.667 z = 1.6671.333 approx 1.25 .
  • Na terceira linha: 1.5y + 0.5 times 1.25 + 0.5 times 2 = 1.5 1.5y + 0.625 + 1 = 1.5 1.5y + 1.625 = 1.5 1.5y = -0.125 y = -0.1251.5 approx -0.083 . Substituindo 2x + (-0.083) + 1.25 + 2 = 1 2x + 3.167 = 1 2x = -2.167 x = -2.1672 approx -1.083 :
  • Na segunda linha: . Substituindo e :
  • Na primeira linha: . Substituindo , e :

Resposta

X = -1 0 1 2

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