Uma matriz quadrada
diz-se nilpotente se existe
tal que
, e o menor número natural
tal que
é chamado de índice de nilpotência de
. Mostre que
é nilpotente de índice 3. Onde
A^p=underbraceA cdot A ldots AP vezes .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada
e queremos mostrar que ela é nilpotente com índice de nilpotência igual a 3. Ou seja, precisamos provar que
(a matriz nula) e que nenhum expoente menor que 3 satisfaz essa condição. Para isso, vamos calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
A = -2 & -10 & 4 -2 & -4 & 2 -6 & -12 & 6 , que é a matriz
A^2 = A cdot A = -2 & -10 & 4 -2 & -4 & 2 -6 & -12 & 6 cdot -2 & -10 & 4 -2 & -4 & 2 -6 & -12 & 6 multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de
A^2 = (-2)(-2) + (-10)(-2) + (4)(-6) & (-2)(-10) + (-10)(-4) + (4)(-12) & (-2)(4) + (-10)(2) + (4)(6) (-2)(-2) + (-4)(-2) + (2)(-6) & (-2)(-10) + (-4)(-4) + (2)(-12) & (-2)(4) + (-4)(2) + (2)(6) (-6)(-2) + (-12)(-2) + (6)(-6) & (-6)(-10) + (-12)(-4) + (6)(-12) & (-6)(4) + (-12)(2) + (6)(6) pelas colunas de
A^2 = 4 + 20 - 24 & 20 + 40 - 48 & -8 -20 + 24 4 + 8 - 12 & 20 + 16 - 24 & -8 -8 + 12 12 + 24 - 36 & 60 + 48 - 72 & -24 -24 + 36 .
A matriz
A^2 = 0 & 12 & -4 0 & 12 & -4 0 & 36 & -12 é:
Vamos multiplicar
por
:
Calculando cada elemento de
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular
A^3 = A^2 cdot A = 0 & 12 & -4 0 & 12 & -4 0 & 36 & -12 cdot -2 & -10 & 4 -2 & -4 & 2 -6 & -12 & 6 , que é
A^3 = (0)(-2) + (12)(-2) + (-4)(-6) & (0)(-10) + (12)(-4) + (-4)(-12) & (0)(4) + (12)(2) + (-4)(6) (0)(-2) + (12)(-2) + (-4)(-6) & (0)(-10) + (12)(-4) + (-4)(-12) & (0)(4) + (12)(2) + (-4)(6) (0)(-2) + (36)(-2) + (-12)(-6) & (0)(-10) + (36)(-4) + (-12)(-12) & (0)(4) + (36)(2) + (-12)(6) multiplicado por
A^3 = 0 - 24 + 24 & 0 - 48 + 48 & 0 + 24 - 24 0 - 24 + 24 & 0 - 48 + 48 & 0 + 24 - 24 0 - 72 + 72 & 0 - 144 + 144 & 0 + 72 - 72 :
Calculando cada elemento de
:
Simplificando:
Resposta
A matriz
é nilpotente de índice 3, pois
e nenhum expoente menor satisfaz essa condição.