Uma matriz quadrada diz-se nilpotente se existe tal que , e o menor número natural tal que é chamado de índice de nilpotência de . Mostre que é nilpotente de índice 3. Onde .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada e queremos mostrar que ela é nilpotente com índice de nilpotência igual a 3. Ou seja, precisamos provar que (a matriz nula) e que nenhum expoente menor que 3 satisfaz essa condição. Para isso, vamos calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a matriz multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de pelas colunas de .
A matriz é:
Vamos multiplicar por :
Calculando cada elemento de :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é multiplicado por :
Calculando cada elemento de :
Simplificando:

Resposta

A matriz é nilpotente de índice 3, pois e nenhum expoente menor satisfaz essa condição.

Exercícios relacionados

Considere as matrizes: .
(b) Diga quais dos produtos seguintes não estão definidos: B.C, A.C, , e determine os que estão definidos.
Considere o sistema linear , onde: e .
(b) Determine duas outras soluções deste sistema diferentes da solução do item (a).
Mostre que se é uma matriz invertível e se , então . (sugestão: multiplique a equação por )
Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(a)