Uma matriz quadrada diz-se nilpotente se existe tal que , e o menor número natural tal que é chamado de índice de nilpotência de . Mostre que é nilpotente de índice 3. Onde .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada e queremos mostrar que ela é nilpotente com índice de nilpotência igual a 3. Ou seja, precisamos provar que (a matriz nula) e que nenhum expoente menor que 3 satisfaz essa condição. Para isso, vamos calcular e .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular , que é a matriz multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de pelas colunas de .
A matriz é:
Vamos multiplicar por :
Calculando cada elemento de :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular , que é multiplicado por :
Calculando cada elemento de :
Simplificando:
Resposta
A matriz é nilpotente de índice 3, pois e nenhum expoente menor satisfaz essa condição.