Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(G) 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz aumentada. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar a matriz e descobrir condições para que o sistema seja consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & -2 & -2 & | & 1 -1 & -2 & 0 & | & 0 -1 & -6 & 0 & | & 3 -2 & 12 & 6 & | & k

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples usando operações de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou somar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos usar a Primeira Linha para eliminar os termos abaixo do primeiro elemento da coluna:
  • Adicionar a Linha 1 à Linha 2:
    (-1) + 1 = 0, (-2) + (-2) = -4, 0 + (-2) = -2, 0 + 1 = 1
    Então, a nova Linha 2 fica:
    0 -4 -2 | 1
  • Adicionar a Linha 1 à Linha 3:
    (-1) + 1 = 0, (-6) + (-2) = -8, 0 + (-2) = -2, 3 + 1 = 4
    Nova Linha 3:
    0 -8 -2 | 4
  • Adicionar 2 vezes a Linha 1 à Linha 4:
    (-2) + 2 times 1 = 0, 12 + 2 times (-2) = 8, 6 + 2 times (-2) = 2, k + 2 times 1 = k + 2
    Nova Linha 4:
    0 8 2 | k + 2
Agora, a matriz fica assim:
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & -4 & -2 & | & 1 0 & -8 & -2 & | & 4 0 & 8 & 2 & | & k + 2

Passo 4

Vamos continuar simplificando. Agora, vamos focar na Segunda Coluna. Queremos eliminar os termos abaixo do elemento 0 1 12 | -14 na Linha 2.
Primeiro, divida a Linha 2 por 1 & -2 & -2 & | & 1 0 & 1 & 12 & | & -14 0 & -8 & -2 & | & 4 0 & 8 & 2 & | & k + 2 para facilitar:
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Usando a Linha 2 modificada, vamos eliminar os termos na segunda coluna das Linhas 3 e 4.
  • Para a Linha 3: adicionar 8 vezes a Linha 2:
    0 + 8 times 0 = 0, -8 + 8 times 1 = 0, -2 + 8 times 12 = -2 + 4 = 2, 4 + 8 times (-14) = 4 - 2 = 2
    Nova Linha 3:
    0 0 2 | 2
  • Para a Linha 4: subtrair 8 vezes a Linha 2:
    0 - 8 times 0 = 0, 8 - 8 times 1 = 0, 2 - 8 times 12 = 2 - 4 = -2, (k + 2) - 8 times (-14) = k + 2 + 2 = k + 4
    Nova Linha 4:
    0 0 -2 | k + 4
Agora, a matriz está assim:
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & 1 & 12 & | & -14 0 & 0 & 2 & | & 2 0 & 0 & -2 & | & k + 4

Passo 6

Agora, vamos simplificar a Terceira e Quarta Linhas. Observamos que a Linha 4 é igual a -2 times 1 = k + 4 -2 = k + 4 k = -6 vezes a Linha 3, a menos que haja um ajuste com .
Para garantir que o sistema tenha solução, as duas linhas precisam ser compatíveis. Então, vamos comparar as Terceira e Quarta Linhas:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Substituindo na Linha 4:

Resposta

O valor de que faz com que o sistema tenha solução é .

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