Determine a solução do seguinte sistema de equações lineares:
2 x1-x2+x3-x4= & 4 3 x1+2 x2-x3+2 x4= & 1 2 x1-x2-x3-x4= & 0 5 x1+2 x4= & 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de sistemas lineares, como substituição e eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na quarta equação, que é mais simples:
5 x1 + 2 x4 = 1
Aqui, podemos isolar x1 = 1 - 2 x45 em função de . Vamos fazer isso dividindo tudo por 5:
Assim, agora temos expresso em termos de , o que vai ajudar a substituir esse valor nas outras equações.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de 2 x1 - x2 + x3 - x4 = 4 que encontramos na Passo 2 nas outras três equações. Vamos começar com a primeira equação:
2 (1 - 2 x45) - x2 + x3 - x4 = 4
Substituindo 2 - 4 x45 - x2 + x3 - x4 = 4 :
2 - 4 x4 - 5 x2 + 5 x3 - 5 x4 = 20
Simplificando:
-5 x2 + 5 x3 - 9 x4 = 18 (Equação A)
Para facilitar, vamos multiplicar tudo por 5 para eliminar o denominador:
Combinando os termos semelhantes:
çã

Passo 4

Vamos substituir 3 x1 + 2 x2 - x3 + 2 x4 = 1 na segunda equação:
3 (1 - 2 x45) + 2 x2 - x3 + 2 x4 = 1
Substituindo 3 - 6 x45 + 2 x2 - x3 + 2 x4 = 1 :
3 - 6 x4 + 10 x2 - 5 x3 + 10 x4 = 5
Simplificando:
10 x2 - 5 x3 + 4 x4 = 2 (Equação B)
Multiplicando tudo por 5:
Combinando os termos:
çã

Passo 5

Agora, substituímos 2 x1 - x2 - x3 - x4 = 0 na terceira equação:
2 (1 - 2 x45) - x2 - x3 - x4 = 0
Substituindo 2 - 4 x45 - x2 - x3 - x4 = 0 :
2 - 4 x4 - 5 x2 - 5 x3 - 5 x4 = 0
Simplificando:
-5 x2 - 5 x3 - 9 x4 = -2 (Equação C)
Multiplicando por 5:
Combinando os termos:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ( -5 x2 + 5 x3 - 9 x4 = 18 & (Equação A) 10 x2 - 5 x3 + 4 x4 = 2 & (Equação B) -5 x2 - 5 x3 - 9 x4 = -2 & (Equação C) , (-5 x2 + 5 x3 - 9 x4) + (-5 x2 - 5 x3 - 9 x4) = 18 + (-2) , -10 x2 - 18 x4 = 16 Rightarrow -10 x2 = 16 + 18 x4 ):
x2 = -1610 - 1810 x4 = -85 - 95 x4 çãçãçã
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos somar a Equação A e a Equação C para eliminar :
Simplificando:
Dividindo por -10:

Passo 7

Agora, vamos substituir 10 x2 - 5 x3 + 4 x4 = 2 na Equação B:
10 (-85 - 95 x4) - 5 x3 + 4 x4 = 2
Substituindo:
-16 - 18 x4 - 5 x3 + 4 x4 = 2
Simplificando:
-5 x3 - 14 x4 = 18
Combinando termos:
-5 x3 = 18 + 14 x4 Rightarrow x3 = -185 - 145 x4
Podemos isolar :

Passo 8

Agora, temos expressões para -5 x2 + 5 x3 - 9 x4 = 18 e -5 (-85 - 95 x4) + 5 (-185 - 145 x4) - 9 x4 = 18 em termos de 8 + 9 x4 - 18 - 14 x4 - 9 x4 = 18 . Vamos substituir essas expressões na Equação A para encontrar -19 x4 - 10 = 18 :
-19 x4 = 28 Rightarrow x4 = -2819
Substituindo:
Simplificando:
Combinando termos:
Isolando :

Passo 9

Agora que temos x2 = -85 - 95 (-2819) = -85 + 25295 = -15295 + 25295 = 10095 = 2019 , podemos encontrar x3 = -185 - 145 (-2819) = -185 + 39295 = -34295 + 39295 = 5095 = 1019 e usando as expressões que obtivemos:

Passo 10

Finalmente, vamos encontrar x1 = 1 - 2 x45 = 1 - 2 (-2819)5 = 1 + 56195 = 1919 + 56195 = 7519 div 5 = 7595 = 1519 usando a expressão que tínhamos no Passo 2:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = dfrac1519 x2 = dfrac2019 x3 = dfrac1019 x4 = -dfrac2819

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