Considere o sistema linear
S=l -x+6 y-8 z=1 -2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
c) Verifique que (lx y z)=lambda(l4 2 1) é solução do sistema linear homogêneo
(lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom00

Passo 1

Vamos lá! Temos que verificar se o vetor x y z = lambda 4 2 1 é solução do sistema linear homogêneo dado. Estamos trabalhando com sistemas lineares e matrizes, e para resolver isso, vamos substituir os valores de x, y e z na equação e ver se obtemos uma igualdade válida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma solução do sistema homogêneo. Um sistema homogêneo é da forma Av = 0, onde A é a matriz dos coeficientes e v é o vetor das variáveis. Se substituirmos os valores de v na equação e obtivermos o vetor zero, então v é uma solução do sistema.

Passo 3

Vamos substituir x, y e z por lambda cdot 4, lambda cdot 2 e lambda cdot 1, respectivamente, na matriz do sistema. Ou seja:
1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 4lambda 2lambda lambda = 0 0

Passo 4

Agora, vamos realizar a multiplicação das matrizes:
Para a primeira equação:
1 cdot (4lambda) + 6 cdot (2lambda) + (-8) cdot (lambda) = 4lambda + 12lambda - 8lambda = (4 + 12 - 8)lambda = 8lambda
Para a segunda equação:
2 cdot (4lambda) + 6 cdot (2lambda) + (-4) cdot (lambda) = 8lambda + 12lambda - 4lambda = (8 + 12 - 4)lambda = 16lambda

Passo 5

Agora, igualamos os resultados às componentes do vetor zero:
8lambda = 0 16lambda = 0

Passo 6

A única solução para essas equações é lambda = 0. Isso significa que o vetor 0 0 0 é uma solução trivial do sistema homogêneo.

Resposta

Portanto, o vetor x y z = lambda 4 2 1 é uma solução do sistema linear homogêneo apenas quando lambda = 0, ou seja, o vetor nulo é a única solução.

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