Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
l x+y-z=1 2 x+3 y+a z=3 x+a y+3 z=2
Tenha:
b) Mais de uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para que o sistema linear dado tenha mais de uma solução. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e suas soluções. Para isso, vamos usar o método de redução de matrizes para analisar as condições que permitem múltiplas soluções.

Passo 2

Primeiro, anota a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & -1 & | & 1 2 & 3 & a & | & 3 1 & a & 3 & | & 2

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada, onde podemos identificar se existe dependência entre as equações.
Primeiro, vamos eliminar o Linha2' = Linha2 - 2 times Linha1 das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Para a segunda linha:
2 - 2(1) = 0; 3 - 2(1) = 1; a - 2(-1) = a + 2; 3 - 2(1) = 1
0 1 a + 2 | 1
Então, a segunda linha fica:
Linha3' = Linha3 - 1 times Linha1
Para a terceira linha:
1 - 1(1) = 0; a - 1(1) = a - 1; 3 - 1(-1) = 4; 2 - 1(1) = 1
0 a - 1 4 | 1
Então, a terceira linha fica:
1 & 1 & -1 & | & 1 0 & 1 & a + 2 & | & 1 0 & a - 1 & 4 & | & 1
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha3' = Linha3 - (a - 1) times Linha2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0 - 0 = 0; (a - 1) - (a - 1)(1) = 0; 4 - (a - 1)(a + 2) = 4 - (a^2 + 2a - a - 2) = 4 - (a^2 + a - 2) = -a^2 - a + 6 e subtraímos da terceira linha.
1 - (a - 1)(1) = 1 - a + 1 = 2 - a
0 0 -a^2 - a + 6 | 2 - a
Então, a terceira linha fica:

Passo 5

Para que o sistema tenha mais de uma solução, a última equação precisa ser sempre satisfeita, mesmo quando os coeficientes das variáveis são zero. Isso acontece quando o coeficiente de -a^2 - a + 6 = 0 e 2 - a = 0 e o termo constante são proporcionais, ou seja:
- (2)^2 - 2 + 6 = -4 -2 +6 = 0
Vamos resolver as duas equações:
  1. Substituindo na primeira equação:
Ambas as equações são satisfeitas quando .

Resposta

O valor de que faz o sistema ter mais de uma solução é .

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear
S=l -x+6 y-8 z=1 -2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
c) Verifique que (lx y z)=lambda(l4 2 1) é solução do sistema linear homogêneo
(lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom00
Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
b) l-x+2 y+4 z=1 -x+3 y+2 z=2
Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
la x+y+z=1 x+a y+z=1 x+y+a z=1
Tenham:
Nenhuma solução.
Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
d) l3 z=9 x+5 y-1 z=2 13 x+2 y=3