Determine os valores de , de modo que o Sistema Linear
Tenha:
b) Mais de uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de para que o sistema linear dado tenha mais de uma solução. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e suas soluções. Para isso, vamos usar o método de redução de matrizes para analisar as condições que permitem múltiplas soluções.
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada, onde podemos identificar se existe dependência entre as equações.
Primeiro, vamos eliminar o Linha2' = Linha2 - 2 times Linha1 das segunda e terceira linhas usando a primeira linha.
Agora, vamos eliminar o Linha3' = Linha3 - (a - 1) times Linha2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 0 - 0 = 0; (a - 1) - (a - 1)(1) = 0; 4 - (a - 1)(a + 2) = 4 - (a^2 + 2a - a - 2) = 4 - (a^2 + a - 2) = -a^2 - a + 6 e subtraímos da terceira linha.
1 - (a - 1)(1) = 1 - a + 1 = 2 - a
0 0 -a^2 - a + 6 | 2 - a
Então, a terceira linha fica:
Passo 5
Para que o sistema tenha mais de uma solução, a última equação precisa ser sempre satisfeita, mesmo quando os coeficientes das variáveis são zero. Isso acontece quando o coeficiente de -a^2 - a + 6 = 0 e 2 - a = 0 e o termo constante são proporcionais, ou seja:
- (2)^2 - 2 + 6 = -4 -2 +6 = 0
Vamos resolver as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Ambas as equações são satisfeitas quando .
Resposta
O valor de que faz o sistema ter mais de uma solução é .