Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
b) la x+y+z=1 x+a y+z=1 x+y+a z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares para encontrar o valor de . O assunto aqui é Sistemas Lineares, e para resolver vamos precisar entender como os coeficientes das variáveis afetam a solução do sistema. Basicamente, queremos descobrir para qual valor de o sistema tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
a x + y + z = 1 x + a y + z = 1 x + y + a z = 1

Passo 3

Para resolver esse sistema, podemos usar a Regra de Cramer, que nos diz que um sistema tem uma única solução se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Então, vamos montar essa matriz:
A = a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1) . O determinante de uma matriz det(A) = a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a) é calculado assim:
det(A) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a
Simplificando:
det(A) = a^3 - 3a + 2

Passo 5

Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
a^3 - 3a + 2 neq 0
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que tornam o determinante zero, ou seja, os valores que não queremos (pois tornam o sistema sem solução única).

Passo 6

Vamos fatorar a equação 1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 0 . Testando possíveis raízes, vemos que (a - 1)(a^2 + a - 2) = 0 é uma solução:
(a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Então, podemos fatorar:
Fatorando mais:
As soluções são e .

Passo 7

Como queremos que o determinante seja diferente de zero para ter uma única solução, excluímos os valores que anulam o determinante:
a neq 1 e a neq -2

Resposta

O sistema tem uma única solução para todo valor de exceto e . Ou seja, e .

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
a) l-2 x+6 y+4 z=4 3 x-2 y=-8 -x+3 y+2 z=1
Resolva os seguintes sistemas lineares.
f) l2 x+y+2 z=3 3 x-2 y-8 z=0 -x+2 y+4 z=1
Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
b) l-x+2 y+4 z=1 -x+3 y+2 z=2
Considere o sistema linear
S=l -x+6 y-8 z=1 -2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
c) Verifique que (lx y z)=lambda(l4 2 1) é solução do sistema linear homogêneo
(lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom00