Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares para encontrar o valor de . O assunto aqui é Sistemas Lineares, e para resolver vamos precisar entender como os coeficientes das variáveis afetam a solução do sistema. Basicamente, queremos descobrir para qual valor de o sistema tem uma única solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
a x + y + z = 1 x + a y + z = 1 x + y + a z = 1
Passo 3
Para resolver esse sistema, podemos usar a Regra de Cramer, que nos diz que um sistema tem uma única solução se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Então, vamos montar essa matriz:
A = a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1) . O determinante de uma matriz det(A) = a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a) é calculado assim:
det(A) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a
Simplificando:
det(A) = a^3 - 3a + 2
Passo 5
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante precisa ser diferente de zero:
a^3 - 3a + 2 neq 0
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que tornam o determinante zero, ou seja, os valores que não queremos (pois tornam o sistema sem solução única).
Passo 6
Vamos fatorar a equação 1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 0 . Testando possíveis raízes, vemos que (a - 1)(a^2 + a - 2) = 0 é uma solução:
(a - 1)(a + 2)(a - 1) = 0
Então, podemos fatorar:
Fatorando mais:
As soluções são e .
Passo 7
Como queremos que o determinante seja diferente de zero para ter uma única solução, excluímos os valores que anulam o determinante:
a neq 1 e a neq -2
Resposta
O sistema tem uma única solução para todo valor de exceto e . Ou seja, e .