Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
la x+y+z=1 x+a y+z=1 x+y+a z=1
Tenham:
Nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas , e , e uma constante . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de esse sistema não tem nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que são ferramentas essenciais em álgebra linear para analisar sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Cada equação fornece uma linha dessa matriz. Assim, a matriz fica:
a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a
E o vetor dos termos constantes é:
1 1 1

Passo 3

Para que o sistema não tenha solução, precisamos que a matriz dos coeficientes seja singular, ou seja, que o seu determinante seja zero. Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1) :
det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a)
Simplificando:
det(A) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a
det(A) = a^3 - 3a + 2

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) para encontrar os valores de = (a - 1)(a + 2)(a - 1) que tornam o determinante zero.
Vamos fatorar o polinômio:
= (a - 1)^2(a + 2)
Então, as raízes são (com multiplicidade 2) e .

Passo 5

Embora o determinante zero seja necessário para que o sistema não tenha solução, precisamos verificar se, nesses valores de x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 , o sistema realmente é inconsistente (ou seja, não tem solução). Vamos analisar cada caso:
  • Para -2x + y + z = 1 x -2y + z = 1 x + y -2z = 1 :
    O sistema se torna:
    Todas as equações são iguais, o que significa que existem infinitas soluções, não nenhuma.
  • Para :
    O sistema fica:
    Ao resolver esse sistema, veremos que as equações se tornam inconsistentes, ou seja, não há solução.

Resposta

O sistema não tem nenhuma solução quando .

Exercícios relacionados

Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
l x+y-z=1 2 x+3 y+a z=3 x+a y+3 z=2
Tenha:
b) Mais de uma solução.
Considere o sistema linear
S=l -x+6 y-8 z=1 -2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
c) Verifique que (lx y z)=lambda(l4 2 1) é solução do sistema linear homogêneo
(lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom00
Resolva os sistemas lineares abaixo e classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
d) l3 z=9 x+5 y-1 z=2 13 x+2 y=3
Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
lx+a z=0 y=0 a x+z=0
Tenham:
Nenhuma solução.