Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
Tenham:
Nenhuma solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas , e , e uma constante . O objetivo aqui é descobrir para quais valores de esse sistema não tem nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, que são ferramentas essenciais em álgebra linear para analisar sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Cada equação fornece uma linha dessa matriz. Assim, a matriz fica:
a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a
E o vetor dos termos constantes é:
1 1 1
Passo 3
Para que o sistema não tenha solução, precisamos que a matriz dos coeficientes seja singular, ou seja, que o seu determinante seja zero. Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1) :
det(A) = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a)
Simplificando:
det(A) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a
det(A) = a^3 - 3a + 2
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação a^3 - 3a + 2 = (a - 1)(a^2 + a - 2) para encontrar os valores de = (a - 1)(a + 2)(a - 1) que tornam o determinante zero.
Vamos fatorar o polinômio:
= (a - 1)^2(a + 2)
Então, as raízes são (com multiplicidade 2) e .
Passo 5
Embora o determinante zero seja necessário para que o sistema não tenha solução, precisamos verificar se, nesses valores de x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 , o sistema realmente é inconsistente (ou seja, não tem solução). Vamos analisar cada caso:
Para -2x + y + z = 1 x -2y + z = 1 x + y -2z = 1 :
O sistema se torna:
Todas as equações são iguais, o que significa que existem infinitas soluções, não nenhuma.
Para :
O sistema fica:
Ao resolver esse sistema, veremos que as equações se tornam inconsistentes, ou seja, não há solução.