onde a, b, c, d in R. Resolva o sistema linear (S) em função de a, b, c e d.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas (x1, x2, x3, x4) e queremos resolver esse sistema para encontrar cada uma dessas incógnitas em termos de a, b, c e d. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
l x1 + x2 + x3 = a (1) x1 + x2 + x4 = b (2) x1 + x3 + x4 = c (3) x2 + x3 + x4 = d (4)
Nosso objetivo é encontrar expressões para x1, x2, x3 e x4 em termos de a, b, c e d.
Passo 3
Vamos começar tentando eliminar uma das variáveis. Por exemplo, podemos eliminar x3 subtraindo a equação (1) da equação (2):
(x1 + x2 + x4) - (x1 + x2 + x3) = b - a)
Simplificando isso, temos:
x4 - x3 = b - a Rightarrow x4 = x3 + b - a (5)
Passo 4
Agora, vamos eliminar x2 subtraindo a equação (1) da equação (3):
(x1 + x3 + x4) - (x1 + x2 + x3) = c - a)
Isso nos dá:
x4 - x2 = c - a Rightarrow x4 = x2 + c - a (6)
Passo 5
Agora temos duas expressões para x4:
x4 = x3 + b - a \quad (da equação 5)
x4 = x2 + c - a \quad (da equação 6)
Igualando as duas expressões:
x3 + b - a = x2 + c - a
Simplificando:
x3 - x2 = c - b Rightarrow x3 = x2 + c - b (7)
Passo 6
Vamos agora usar a equação (1) e substituir x3 pela expressão encontrada na equação (7):
x1 + x2 + (x2 + c - b) = a
Simplificando:
x1 + 2x2 + c - b = a
Isolando x1:
x1 = a - c + b - 2x2 (8)
Passo 7
Agora, vamos usar a equação (4) substituindo x3 e x4 pelas expressões das equações (7) e (5):
x2 + (x2 + c - b) + (x3 + b - a) = d
Mas já sabemos que x3 = x2 + c - b, então:
x2 + x2 + c - b + x2 + c - b + b - a = d
Simplificando:
3x2 + 2c - a - b = d
Isolando x2:
3x2 = d - 2c + a + b Rightarrow x2 = a + b + d - 2c3
Passo 8
Agora que temos x2, podemos encontrar as outras variáveis usando as equações anteriores:
Para x3:
x3 = x2 + c - b = a + b + d - 2c3 + c - b = a - 2b + c + d3
Para x1:
Substituindo x2 na equação (8):
x1 = a - c + b - 2(a + b + d - 2c3) = a + b + c - 2d3
Para x4:
Usando a equação (5):
x4 = x3 + b - a = a - 2b + c + d3 + b - a = -2a + b + c + d3
Resposta
As soluções do sistema são:
x1 = dfraca + b + c - 2d3 x2 = dfraca + b + d - 2c3 x3 = dfraca - 2b + c + d3 x4 = dfrac-2a + b + c + d3