Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss.
rl-2 x+6 y+2 z & =14 x & -3 z+2 k=8 3+y z-2 k & =-6 3 x-y-z-3 k & =-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss. O sistema tem quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e usar operações de linha para simplificar até encontrarmos os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
-2x + 6y + 2z = 14 x - 3z + 2k = 8 3 + y + z - 2k = -6 3x - y - z - 3k = -5
Agora, vamos montar a matriz aumentada correspondente:
-2 & 6 & 2 & 0 & | & 14 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 1 & -2 & | & -9 3 & -1 & -1 & -3 & | & -5

Passo 3

A ideia do Método de Gauss é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos resolver uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando o 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 -2 & 6 & 2 & 0 & | & 14 0 & 1 & 1 & -2 & | & -9 3 & -1 & -1 & -3 & | & -5 das linhas abaixo da primeira.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para ter um 1 como coeficiente de :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 6 & -4 & 4 & | & 30 0 & 1 & 1 & -2 & | & -9 0 & -1 & 8 & -9 & | & -29 das outras linhas. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Aplicando essas operações:
Linha 2: , , , ,
Linha 4: , , , ,
Matriz atualizada:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e tentar deixar o 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 1 & -23 & 23 & | & 5 0 & 1 & 1 & -2 & | & -9 0 & -1 & 8 & -9 & | & -29 com coeficiente 1 na segunda linha. Para isso, dividimos a Linha 2 por 6:

Passo 6

Vamos eliminar o 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 1 & -23 & 23 & | & 5 0 & 0 & 53 & -83 & | & -14 0 & 0 & 223 & -253 & | & -24 das demais linhas usando a Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando:
Linha 3: , , , ,
Linha 4: , , , ,
Matriz atualizada:

Passo 7

Agora, vamos simplificar as últimas duas linhas para facilitar a resolução:
Multiplicamos a Linha 3 por 1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 1 & -23 & 23 & | & 5 0 & 0 & 1 & -85 & | & -425 0 & 0 & 223 & -253 & | & -24 para deixar o coeficiente de igual a 1:
Linha 3: , ,
Linha 4: Mantemos por enquanto
Matriz atualizada:

Passo 8

Vamos eliminar o 0 0 0 175 | 1885 da Linha 4 usando a Linha 3:
  • Linha 4:
Calculando:
Linha 4 atualizada:

Passo 9

Agora, temos a matriz:
1 & 0 & -3 & 2 & | & 8 0 & 1 & -23 & 23 & | & 5 0 & 0 & 1 & -85 & | & -425 0 & 0 & 0 & 175 & | & 1885
Vamos resolver a última equação para 175k = 1885 implies k = 1885 div 175 = 1885 times 517 = 18817 = 11.0588 approx 11 :

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
k = 11
z = -425 + 85 times 11 = -425 + 885 = 465 = 9.2
y = 5 + 23 times 9.2 - 23 times 11 approx 5 + 6.13 - 7.33 approx 3.8
x = 8 + 3 times 9.2 - 2 times 11 approx 8 + 27.6 - 22 approx 13.6
Portanto, as soluções são:
x approx 13.6, y approx 3.8, z approx 9.2, k = 11

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