Considere o sistema linear A X=B, onde A=ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 0 & -1 & -5 e B=c1 0 -2. Verifique se a matriz A tem inversa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado por , onde é uma matriz 3x3 e é um vetor. O objetivo é verificar se a matriz tem inversa. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e matrizes invertíveis.

Passo 2

Para verificar se a matriz tem inversa, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Caso contrário, ela não tem inversa.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 0 & -1 & -5 :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, vamos calcular .

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 1 cdot 1 cdot (-5) + 2 cdot 2 cdot 0 + 3 cdot (-1) cdot 2 - 3 cdot 1 cdot 0 - 2 cdot 2 cdot (-5) - 1 cdot (-1) cdot 2
Calculando cada termo:
det(A) = (1 times 1 times -5) + (2 times 2 times 0) + (3 times -1 times 2) - (3 times 1 times 0) - (2 times 2 times -5) - (1 times -1 times 2)
det(A) = (-5) + 0 + (-6) - 0 + 20 + 2 = 11

Passo 5

Como e , concluímos que a matriz é invertível.

Resposta

A matriz tem inversa porque o determinante de é diferente de zero ( ).

Exercícios relacionados