Encontre uma matriz triangular superior A2 times 2 tal que A^3=[cc8 & -57 0 & 27].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz triangular superior 8 & -57 0 & 27 de ordem que, quando elevada ao cubo, dá a matriz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes triangulares e potenciação de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como elevar uma matriz triangular superior a uma potência qualquer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. No caso de uma matriz A = a & b 0 & d , ela tem a forma:
Aqui, e estão na diagonal principal, e está acima dela.

Passo 3

Agora, precisamos entender como elevar essa matriz A^2 = A times A = a & b 0 & d times a & b 0 & d = a^2 & ab + b d 0 & d^2 ao cubo, ou seja, calcular . Para isso, vamos primeiro calcular e depois multiplicar o resultado por .
Primeiro, calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = a^2 & ab + b d 0 & d^2 times a & b 0 & d = a^3 & a^2 b + a b d + b d^2 0 & d^3 :

Passo 5

Segundo o enunciado, sabemos que:
A^3 = 8 & -57 0 & 27
Comparando com o que encontramos para a^3 = 8 a^2 b + a b d + b d^2 = -57 d^3 = 27 , temos:

Passo 6

Vamos resolver essas equações uma por uma. Primeiro, da primeira e da terceira equação:
a^3 = 8 implies a = raiz[3]8 = 2
d^3 = 27 implies d = raiz[3]27 = 3

Passo 7

Agora que temos (2)^2 b + (2)(b)(3) + b(3)^2 = -57 e 4b + 6b + 9b = -57 , vamos substituir esses valores na segunda equação para encontrar 19b = -57 :
b = -5719 = -3

Resposta

A matriz triangular superior 8 & -57 0 & 27 que satisfaz A = 2 & -3 0 & 3 é:

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