Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma matriz triangular superior de ordem que, quando elevada ao cubo, dá a matriz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes triangulares e potenciação de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como elevar uma matriz triangular superior a uma potência qualquer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. No caso de uma matriz , ela tem a forma:
Aqui, e estão na diagonal principal, e está acima dela.
Passo 3
Agora, precisamos entender como elevar essa matriz ao cubo, ou seja, calcular . Para isso, vamos primeiro calcular e depois multiplicar o resultado por .
Primeiro, calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Segundo o enunciado, sabemos que:
Comparando com o que encontramos para , temos:
Passo 6
Vamos resolver essas equações uma por uma. Primeiro, da primeira e da terceira equação:
a^3 = 8 implies a = raiz[3]8 = 2
d^3 = 27 implies d = raiz[3]27 = 3
Passo 7
Agora que temos (2)^2 b + (2)(b)(3) + b(3)^2 = -57 e 4b + 6b + 9b = -57 , vamos substituir esses valores na segunda equação para encontrar 19b = -57 :
b = -5719 = -3
Resposta
A matriz triangular superior 8 & -57 0 & 27 que satisfaz A = 2 & -3 0 & 3 é: