Sejam A, B, C e D tais que A times B=C times D, A times C=B times D.
Provar que (A-D) times(B-C)=0

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão de vetores juntos. O enunciado nos dá duas igualdades envolvendo produtos vetoriais e pede para provar que o produto vetorial de (A - D) com (B - C) é o vetor zero. Vamos precisar entender como expandir produtos vetoriais e usar as propriedades deles para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto vetorial (A - D) times (B - C) usando a distributiva dos produtos vetoriais. A propriedade distributiva nos permite quebrar esse produto em quatro termos:
(A - D) times (B - C) = A times B - A times C - D times B + D times C

Passo 3

Agora, vamos substituir as igualdades fornecidas no enunciado. Sabemos que:
A times B = C times D
A times C = B times D
Vamos substituir essas igualdades na expressão que obtivemos:
A times B = C times D
A times C = B times D Rightarrow -A times C = -B times D
Substituindo na expressão original:
C times D - B times D - D times B + D times C

Passo 4

Observamos que D times B = -B times D e D times C = -C times D. Vamos substituir isso:
C times D - B times D - (-B times D) + (-C times D)
Simplificando os sinais:
C times D - B times D + B times D - C times D

Passo 5

Agora, vemos que os termos se cancelam:
C times D - C times D + (- B times D + B times D) = 0

Resposta

(A - D) times (B - C) = 0

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