Determine os parâmetros reais a, b, c, d de modo que a matriz abaixo seja ortogonal :
[ccc1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 a & b & c]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir os valores reais de 1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 a & b & c para que a matriz abaixo seja uma matriz ortogonal:
Matéria envolvida: Matrizes ortogonais, que são aquelas cujas colunas (e linhas) são vetores ortonormais. Isso significa que cada coluna tem comprimento 1 e é perpendicular às outras.
O que vamos precisar: Entender as propriedades de matrizes ortogonais e como aplicar isso para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz Q^T Q = I é ortogonal se satisfaz:
Q = 1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 a & b & c
Onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas de são vetores ortonormais.
No nosso caso, a matriz é:

Passo 3

Vamos verificar que as colunas de 1 0 a são vetores com comprimento 1.
  • Primeira coluna: 1^2 + 0^2 + a^2 = 1 + a^2 = 1 implies a^2 = 0 implies a = 0
O comprimento dessa coluna é:
Então, .

Passo 4

  • Segunda coluna: 0 1raiz2 b
O comprimento dessa coluna é:
0^2 + (1raiz2)^2 + b^2 = 0 + 12 + b^2 = 1 implies b^2 = 12 implies b = pm 1raiz2
Então, ou .

Passo 5

  • Terceira coluna: 0 1raiz2 c
O comprimento dessa coluna é:
0^2 + (1raiz2)^2 + c^2 = 0 + 12 + c^2 = 1 implies c^2 = 12 implies c = pm 1raiz2
Então, ou .

Passo 6

Agora, precisamos garantir que as colunas sejam ortogonais entre si. Vamos verificar o produto interno entre a segunda e a terceira coluna:
0 cdot 0 + 1raiz2 cdot 1raiz2 + b cdot c = 12 + b c = 0
Isso nos dá:
b c = -12
Sabemos que e podem ser . Vamos analisar as combinações:
  1. Se , então para que .
  2. Se , então para que .

Resposta

Os parâmetros que tornam a matriz ortogonal são:
  • e
Ou
  • e

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