Considere o sistema
.
(b) Calcule o Wronskiano
.
(b) Calcule o Wronskiano
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! Aqui, a gente está lidando com sistemas de equações diferenciais lineares, e o que precisamos calcular é o Wronskiano das soluções
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o Wronskiano e como ele se relaciona com o sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções
e
de um sistema de equações diferenciais, o Wronskiano
é basicamente o determinante da matriz formada pelas duas soluções. Ou seja:
Passo 3
Agora, observando o sistema dado:
Podemos identificar a matriz dos coeficientes
:
Passo 4
A gente sabe que para sistemas lineares com matriz de coeficientes constante, o Wronskiano satisfaz a seguinte equação:
Aqui,
é o traço da matriz
, que é a soma dos elementos da diagonal principal. No nosso caso:
Passo 5
Então, a equação diferencial para o Wronskiano fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples, cuja solução geral é:
Onde
é uma constante que depende das condições iniciais do problema.
Passo 6
Sem informações adicionais sobre as condições iniciais ou as soluções específicas
e
, não podemos determinar o valor exato de
. Portanto, a expressão geral para o Wronskiano é:
Resposta
O Wronskiano
é dado por
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere o sistema
.
(d) Determine a solução geral do sistema.
(d) Determine a solução geral do sistema.
Considere o sistema
.
© O conjunto é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
© O conjunto
Use transformada de Laplace e resolva o sistema:
satisfazendo as condições iniciais:
Considere o sistema
.
(a) Verifique que e
são soluções do sistema.
(a) Verifique que