Considere o sistema [lx1^prime x2^prime]=[ll1 & 1 4 & 1][lx1 x2].
(b) Calcule o Wronskiano W[X^1, X^2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! Aqui, a gente está lidando com sistemas de equações diferenciais lineares, e o que precisamos calcular é o Wronskiano das soluções e . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o Wronskiano e como ele se relaciona com o sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções W[X^1, X^2] = det x1^1 & x1^2 x2^1 & x2^2 e de um sistema de equações diferenciais, o Wronskiano é basicamente o determinante da matriz formada pelas duas soluções. Ou seja:

Passo 3

Agora, observando o sistema dado:
x1' = 1 cdot x1 + 1 cdot x2 x2' = 4 cdot x1 + 1 cdot x2
Podemos identificar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 4 & 1 :

Passo 4

A gente sabe que para sistemas lineares com matriz de coeficientes constante, o Wronskiano satisfaz a seguinte equação:
W' = tr(A) cdot W
Aqui, tr(A) = 1 + 1 = 2 é o traço da matriz , que é a soma dos elementos da diagonal principal. No nosso caso:

Passo 5

Então, a equação diferencial para o Wronskiano fica:
W' = 2W
Essa é uma equação diferencial linear simples, cuja solução geral é:
W(t) = C cdot e^2t
Onde é uma constante que depende das condições iniciais do problema.

Passo 6

Sem informações adicionais sobre as condições iniciais ou as soluções específicas W[X^1, X^2](t) = C cdot e^2t e , não podemos determinar o valor exato de . Portanto, a expressão geral para o Wronskiano é:

Resposta

O Wronskiano é dado por , onde é uma constante.

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