Considere o sistema .
(b) Calcule o Wronskiano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! Aqui, a gente está lidando com sistemas de equações diferenciais lineares, e o que precisamos calcular é o Wronskiano das soluções e . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre o Wronskiano e como ele se relaciona com o sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções e de um sistema de equações diferenciais, o Wronskiano é basicamente o determinante da matriz formada pelas duas soluções. Ou seja:

Passo 3

Agora, observando o sistema dado:
Podemos identificar a matriz dos coeficientes :

Passo 4

A gente sabe que para sistemas lineares com matriz de coeficientes constante, o Wronskiano satisfaz a seguinte equação:
Aqui, é o traço da matriz , que é a soma dos elementos da diagonal principal. No nosso caso:

Passo 5

Então, a equação diferencial para o Wronskiano fica:
Essa é uma equação diferencial linear simples, cuja solução geral é:
Onde é uma constante que depende das condições iniciais do problema.

Passo 6

Sem informações adicionais sobre as condições iniciais ou as soluções específicas e , não podemos determinar o valor exato de . Portanto, a expressão geral para o Wronskiano é:

Resposta

O Wronskiano é dado por , onde é uma constante.

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Considere o sistema .
(d) Determine a solução geral do sistema.
Considere o sistema .
© O conjunto é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
Use transformada de Laplace e resolva o sistema:
satisfazendo as condições iniciais:
Considere o sistema .
(a) Verifique que e são soluções do sistema.