Considere o sistema
.
(d) Determine a solução geral do sistema.
(d) Determine a solução geral do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver esse sistema e encontrar a solução geral, vamos precisar identificar os autovalores e autovetores da matriz que está acompanhando as varições de
e
. Basicamente, vamos descobrir como cada variável se comporta ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso simplifica para:
Escolhendo
, temos
. Então, o autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente do vetor solução terá a forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (se fornecidas).
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Considere o sistema
.
© O conjunto é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
© O conjunto
A equação
é uma solução da edo
?
Considere o sistema
.
(b) Calcule o Wronskiano .
(b) Calcule o Wronskiano
Use transformada de Laplace e resolva o sistema:
satisfazendo as condições iniciais: