Considere o sistema .
(d) Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver esse sistema e encontrar a solução geral, vamos precisar identificar os autovalores e autovetores da matriz que está acompanhando as varições de e . Basicamente, vamos descobrir como cada variável se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente do vetor solução terá a forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (se fornecidas).

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes reais.

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