Considere o sistema [lx1^prime x2^prime]=[ll1 & 1 4 & 1][lx1 x2].
(d) Determine a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações diferenciais lineares. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais e Álgebra Linear. Para resolver esse sistema e encontrar a solução geral, vamos precisar identificar os autovalores e autovetores da matriz que está acompanhando as varições de e . Basicamente, vamos descobrir como cada variável se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz 1 & 1 4 & 1 . Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
det( 1 - lambda & 1 4 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)(1 - lambda) - 4 cdot 1 = (1 - lambda)^2 - 4
Aqui, (1 - lambda)^2 - 4 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Simplificando:
lambda = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda1 = 3 e lambda2 = -1
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 1 - 3 & 1 4 & 1 - 3 v1 v2 = -2 & 1 4 & -2 v1 v2 = 0 0 .
Para -2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = 2v1 :
Resolvemos v1 = 1 2 :
1 + 1 & 1 4 & 1 + 1 v1 v2 = 2 & 1 4 & 2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
2v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -2v1
Podemos escolher v2 = 1 -2 , então . Portanto, o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada componente do vetor solução terá a forma:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
x(t) = c1 e^3t 1 2 + c2 e^-t 1 -2
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema (se fornecidas).

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = c1 e^3t 1 2 + c2 e^-t 1 -2
Onde e são constantes reais.

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