Considere o sistema [lx1^prime x2^prime]=[ll1 & 1 4 & 1][lx1 x2].
(a) Verifique que X^1(t)=[ce^3 t 2 e^3 t] e X^2(t)=[ce^-t -2 e^-t] são soluções do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se as funções e^3t 2 e^3t e e^-t -2 e^-t são soluções do sistema diferencial dado por:
[
x1^prime x2^prime = 1 & 1 4 & 1 x1 x2



]
Vamos precisar usar o conceito de solução de sistemas lineares homogêneos e verificar se, ao substituir as funções no sistema, as igualdades se mantêm.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar ddt e^3t 2 e^3t = 3 e^3t 6 e^3t . Para isso, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, aplicamos a matriz do sistema a 1 & 1 4 & 1 e^3t 2 e^3t = 1 cdot e^3t + 1 cdot 2 e^3t 4 cdot e^3t + 1 cdot 2 e^3t = 3 e^3t 6 e^3t :
[


]
Como , é de fato uma solução do sistema.

Passo 4

Agora, vamos verificar ddt e^-t -2 e^-t = -e^-t 2 e^-t . Calculamos a derivada de :

Passo 5

Aplicamos a matriz do sistema a 1 & 1 4 & 1 e^-t -2 e^-t = 1 cdot e^-t + 1 cdot (-2 e^-t) 4 cdot e^-t + 1 cdot (-2 e^-t) = - e^-t 2 e^-t :
[


]
Novamente, como , também é uma solução do sistema.

Resposta

As funções e são soluções válidas do sistema diferencial dado.

Exercícios relacionados