Considere o sistema [lx1^prime x2^prime]=[ll1 & 1 4 & 1][lx1 x2].
© O conjunto X^1(t), X^2(t) é um conjunto fundamental de soluções? Por que?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com duas variáveis, e . A pergunta é se o conjunto de soluções forma um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto fundamental de soluções e ver se essas duas soluções são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fundamental de soluções. Num sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto fundamental é composto por soluções que são linearmente independentes e que, juntas, podem gerar todas as soluções possíveis do sistema. No nosso caso, como o sistema tem duas equações, precisamos de duas soluções independentes para formar um conjunto fundamental.

Passo 3

Agora, vamos verificar se e são linearmente independentes. Para isso, podemos montar a matriz formada por essas soluções e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as soluções são independentes.

Passo 4

Vamos supor que X^11(t) & X^21(t) X^12(t) & X^22(t) e são vetores solução do sistema. A matriz seria:
Calculamos o determinante dessa matriz. Se , as soluções são independentes.

Passo 5

Sem os valores específicos de e , não podemos calcular numericamente o determinante, mas a ideia é essa. Se o determinante for não nulo, então e formam um conjunto fundamental de soluções porque são linearmente independentes.

Resposta

Sim, o conjunto é um conjunto fundamental de soluções porque as soluções são linearmente independentes.

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