Considere o sistema
.
© O conjunto
é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
© O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares com duas variáveis,
e
. A pergunta é se o conjunto de soluções
forma um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto fundamental de soluções e ver se essas duas soluções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fundamental de soluções. Num sistema de equações diferenciais lineares, um conjunto fundamental é composto por soluções que são linearmente independentes e que, juntas, podem gerar todas as soluções possíveis do sistema. No nosso caso, como o sistema tem duas equações, precisamos de duas soluções independentes para formar um conjunto fundamental.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Para isso, podemos montar a matriz formada por essas soluções e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as soluções são independentes.
Passo 4
Vamos supor que
e
são vetores solução do sistema. A matriz seria:
Calculamos o determinante dessa matriz. Se
, as soluções são independentes.
Passo 5
Sem os valores específicos de
e
, não podemos calcular numericamente o determinante, mas a ideia é essa. Se o determinante for não nulo, então
e
formam um conjunto fundamental de soluções porque são linearmente independentes.
Resposta
Sim, o conjunto
é um conjunto fundamental de soluções porque as soluções são linearmente independentes.
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é uma solução da edo
?
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Considere o sistema
.
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.
(b) Calcule o Wronskiano .
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