Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais de segunda ordem e queremos resolvê-lo usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada nos termos das equações, considerar as condições iniciais fornecidas e resolver no domínio da frequência para depois voltar ao domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda, como , é dada por:
Como todas as condições iniciais são zero (), isso simplifica a aplicação da transformada.
Passo 3
Vamos transformar a primeira equação:
Aplicando a transformada de Laplace:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos transformar a segunda equação:
Aplicando a transformada de Laplace:
Aqui, usamos a transformada de , que é .
Passo 5
Agora, temos um sistema algébrico no domínio de :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 6
Resolvendo o primeiro sistema para :
Isolando :
Passo 7
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Passo 8
Simplificando a equação:
Calculando o termo dentro dos colchetes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 9
Isolando :
Vamos fatorar o denominador :
Então:
Passo 10
Agora, precisamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Porém, notamos que há fatores distintos no denominador, então podemos expressar:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 11
Para encontrar os coeficientes , e , podemos igualar os coeficientes dos polinômios ou substituir valores específicos de . Uma maneira eficiente é comparar os coeficientes dos termos correspondentes.
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos:
Comparando com o lado esquerdo :
Passo 12
Resolvendo o sistema:
→
Substituindo nas outras equações:
→ →
→ →
Agora temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
→ →
Substituindo na primeira equação:
→ → →
E então:
Passo 13
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever :
Passo 14
Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que:
Portanto:
Passo 15
Lembrando que , substituímos :
Novamente, aplicamos frações parciais ou reconhecemos padrões para encontrar a transformada inversa.
Passo 16
Para simplificar, notamos que cada termo corresponde a convoluções no domínio do tempo, mas para manter a simplicidade, vamos diretamente aos resultados:
Após aplicar transformadas inversas e simplificar, obtemos: