Use transformada de Laplace e resolva o sistema:
satisfazendo as condições iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais de segunda ordem e queremos resolvê-lo usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada nos termos das equações, considerar as condições iniciais fornecidas e resolver no domínio da frequência para depois voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada uma das equações do sistema. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada segunda, como , é dada por:
Como todas as condições iniciais são zero ( ), isso simplifica a aplicação da transformada.

Passo 3

Vamos transformar a primeira equação:
Aplicando a transformada de Laplace:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos transformar a segunda equação:
Aplicando a transformada de Laplace:
Aqui, usamos a transformada de , que é .

Passo 5

Agora, temos um sistema algébrico no domínio de :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Resolvendo o primeiro sistema para :
Isolando :

Passo 7

Substituindo na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Simplificando a equação:
Calculando o termo dentro dos colchetes:
Então:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 9

Isolando :
Vamos fatorar o denominador :
Então:

Passo 10

Agora, precisamos decompor em frações parciais para facilitar a aplicação da transformada inversa. Porém, notamos que há fatores distintos no denominador, então podemos expressar:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 11

Para encontrar os coeficientes , e , podemos igualar os coeficientes dos polinômios ou substituir valores específicos de . Uma maneira eficiente é comparar os coeficientes dos termos correspondentes.
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos:
Comparando com o lado esquerdo :

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Substituindo nas outras equações:
Agora temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
E então:

Passo 13

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever :

Passo 14

Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que:
Portanto:

Passo 15

Lembrando que , substituímos :
Novamente, aplicamos frações parciais ou reconhecemos padrões para encontrar a transformada inversa.

Passo 16

Para simplificar, notamos que cada termo corresponde a convoluções no domínio do tempo, mas para manter a simplicidade, vamos diretamente aos resultados:
Após aplicar transformadas inversas e simplificar, obtemos:

Resposta

As soluções do sistema são:

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