A equação
é uma solução da edo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e queremos saber se ela é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente a derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma equação é solução de uma EDO. Basicamente, isso quer dizer que, se a gente derivar a equação dada em relação a
, o resultado dessa derivada deve ser igual à EDO fornecida.
Passo 3
Vamos começar derivando a equação
em relação a
. Como
é uma função de
, usamos a derivação implícita:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos isolar
nessa equação:
Então, a derivada
da nossa equação é
.
Passo 5
Vamos comparar isso com a EDO que nos foi dada:
. Para que a equação
seja solução da EDO, as duas expressões para
devem ser iguais:
Simplificando:
Isso significa que
ou
.
Passo 6
No entanto, nossa equação original
com
implica que:
Ou seja, apenas nos pontos específicos onde
e
a igualdade
coincide com a EDO
.
Resposta
Não, a equação
não é solução geral da EDO
. Ela somente satisfaz a EDO em pontos específicos onde
e
.
Exercícios relacionados
Verifique cada função é uma solução da edo dada.
Verifique cada função é uma solução da edo dada.
Considere o sistema
.
© O conjunto é um conjunto fundamental de soluções? Por que?
© O conjunto
Considere o sistema
.
(d) Determine a solução geral do sistema.
(d) Determine a solução geral do sistema.