Verifique que as funções dadas são soluções para a EDP
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
u1(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

Vamos verificar se a função dada partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 é uma solução da Equação Diferencial Parcial (EDP):
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e equações diferenciais. Precisaremos calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial u1partial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2 em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de partial^2 u1partial x^2 = partialpartial x ( 2xx^2 + y^2 ) em relação a partial^2 u1partial x^2 = 2(x^2 + y^2) - 2x cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) - 4x^2(x^2 + y^2)^2 = 2y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular a primeira derivada de partial u1partial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2 em relação a :

Passo 5

E a segunda derivada de partial^2 u1partial y^2 = partialpartial y ( 2yx^2 + y^2 ) em relação a partial^2 u1partial y^2 = 2(x^2 + y^2) - 2y cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) - 4y^2(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, somamos as duas segundas derivadas:
partial^2 u1partial x^2 + partial^2 u1partial y^2 = 2y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 + 2x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 satisfaz a EDP dada:

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