Considere o sistema lx+y+2 z=a x+z=b 2 x+y+3 z=c. Mostre que a, b e c devem satisfazer a relação c= a+b para que o sistema tenha solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y, z):
x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c
Esse exercício está ligado à álgebra linear, mais especificamente à análise de sistemas lineares. Nosso objetivo é mostrar que, para esse sistema ter solução, os valores de a, b e c precisam obedecer à relação c = a + b.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema para descobrir uma relação entre a, b e c. Começamos observando as duas primeiras equações:
x + y + 2z = a (1) x + z = b (2)
Da equação (2), podemos isolar x:
x = b - z

Passo 3

Agora, substituímos o valor de x encontrado na equação (1):
(b - z) + y + 2z = a
Simplificando:
b - z + y + 2z = a b + y + z = a
Isso nos dá uma nova equação:
y + z = a - b (3)

Passo 4

Agora, temos duas expressões para y:
  1. Da equação (3): y = a - b - z
  2. Da equação (2): já sabemos que x = b - z
Vamos agora usar essas expressões na terceira equação do sistema:
2x + y + 3z = c (4)
Substituindo x e y:
2(b - z) + (a - b - z) + 3z = c

Passo 5

Vamos simplificar a equação acima passo a passo:
2b - 2z + a - b - z + 3z = c
Agrupando termos semelhantes:
(a + b) + (-2z - z + 3z) = c (a + b) + (0z) = c a + b = c

Resposta

Para que o sistema tenha solução, os valores de a, b e c devem satisfazer a relação .

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