Considere o sistema . Mostre que a, b e c devem satisfazer a relação c=a+b para que o sistema tenha solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z):
x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c
Esse exercício está ligado à álgebra linear, mais especificamente à análise de sistemas lineares. Nosso objetivo é mostrar que, para esse sistema ter solução, os valores de a, b e c precisam obedecer à relação c = a + b.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema para descobrir uma relação entre a, b e c. Começamos observando as duas primeiras equações:
x + y + 2z = a (1) x + z = b (2)
Da equação (2), podemos isolar x:
x = b - z
Passo 3
Agora, substituímos o valor de x encontrado na equação (1):
(b - z) + y + 2z = a
Simplificando:
b - z + y + 2z = a b + y + z = a
Isso nos dá uma nova equação:
y + z = a - b (3)
Passo 4
Agora, temos duas expressões para y:
Da equação (3): y = a - b - z
Da equação (2): já sabemos que x = b - z
Vamos agora usar essas expressões na terceira equação do sistema:
2x + y + 3z = c (4)
Substituindo x e y:
2(b - z) + (a - b - z) + 3z = c
Passo 5
Vamos simplificar a equação acima passo a passo:
2b - 2z + a - b - z + 3z = c
Agrupando termos semelhantes:
(a + b) + (-2z - z + 3z) = c (a + b) + (0z) = c a + b = c
Resposta
Para que o sistema tenha solução, os valores de a, b e c devem satisfazer a relação .